maths series de Fourrier

Voilà, je suis en math sup, je prépare un TIPE sur la synthèse sonore et je me retrouve toujours conftronté à ce problème : les series de fourrier qui semblent etre "la base" de ce TIPE. Cependant, on ne traîte pas ça dans le programme de math et je voudrais savoir si quelqu'un pouvait me dire exactement ce que c'est (l'énoncé clair du théorème). C'est à dire toutes les hypothèses mathématiques que doit vérifier une fonction pour que l'on puisse lui associer une série de fourrier ( les + importants théorèmes qui en découlent) et quelques techniques de calculs pour approximer une fonction périodique.
Voilà, je tiens à dire que j'ai cherché sur le net et à part expliquer vaguement à quoi cela correspond on ne dit rien de précis.
Et surtout merci à ceux qui m'aideront car ce que je demande est assez précis et prise de tête (j'imagine). :-D

pour une fonction f définie sur [-PI,PI],
- f est intégrable
- f suit les conditions de Dirichlet pour la convergence de la série (mais les séries sont vues en spé je crois lol):
> fonction bornée
> fonction continue par morceaux
(à vérifier, je suis pas tout à faire sûr) ;-)

Pour le traitement du signal il faut voir aussi les transformée de fourrier, transformée de Laplace et transformée en Z.
Tout ça c'est pour simplifier les calculsen tranformant les équations différentielle en équations polynomiale.

par exemple on donne en entrée d'un système une entrée indicielle (f(t) = 1) qui se traduit par X(p) = 1/p en transformée de Laplace.
si le système est caractérisé par l'équation différentielle:
y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 5x(t)
on a la tranformée:
p² Y(p) + 2p Y(p) + Y(p) = 5 X(p)

Donc on résout pur trouver Y(p) = 5/(p² + 2p + 1) * X(p)
donc on remplace et Y(p) = 5/( (p+1) (p+1) p )
Y(p) = 5/p + -5/(p+1) + -5/(p+1)²

donc l'inverse de la transformée de fourrier donne:
y(t) = 5 - 5 exp (-t) - 5 t exp (-t)

Oula je te suis plus trop....Laplace on a commencé a voir ça en SI mais ce que je voulais c'était surtout les series de fourier mais d'un point de vue purement mathématique (surtout l'énoncé du théorème et quelques applications directes) car qud je passerai à l'oral en fin d'année je sens cette question venir....mais je le sens vnir gros comme une maison.
Si qqun pouvait m'aider...merci

Ah si je connais "convergence uniforme". C'est ça d'avoir un prof de maths barré qui nous fait faire du hors programme.lol. Par contre "série" j'en ai vaguement entendu parler mais c'est tout.
En tous cas merci bien ca assure.
Edit : Ca à l'air assez pointu sur ce site, j'irai voir quand j'aurai un moment. Merci