Probleme de maths [dut GMP 1ere année] pour lundi 02/05

up j'ai vraiment besoin d'un coup de main

comment demarrer le calcul d'equa diff avec une equation de type y" + y' + y = 0?

J'ai pas regardé ton énoncé.
L'équation à coefficient constants ?

si c'est le cas il faut chercher une solution du genre exp(c x)
où c est la constante à trouver.
comme d(exp (k x))/dx = c exp (k x), on peut écrire y'=dy/dx=k exp (k x)= k y donc y'=ky
de meme y'' = k y' = k² y

Donc si ton equation est:
ay'' + by' + cy = 0 equivaut à ak² y + bky + cy = 0 équivaut à (ak²+bk+c)y=0
y étant une exponentielle, y(x) différent de 0 quelque soit x.
donc il faut résoudre a k² + b k + c = 0 où k est l'inconnu pour obtenir le résultat.

Si c'est un problème d'électronique, le discriminent sera probablement négatif, il faut résoudre dans l'ensemble des complexes avec k = alpha + i beta
exp(k x)=exp (alpha x + i beta x) = exp (alpha x) + exp (i beta x) = exp (alpha x) (cos (beta x) + i sin (beta x))
et comme le résultat est réel, la réponse serait un truc du genre exp (alpha x) cos (beta x).
Comme c'est un polynômle de 2nd degré, il y a 2 solutions.

J'ai regardé lexo sur la matrice
lapplication est donc la suivante :
m(x,y,z)=(2x-y+z , 3x-2y+z , 3x-3y+2z)

Pour la 1ere question tu remplace xyz par les coordonnes de u et voila

déterminant : règle de Sarrus sinon tu développes par rapport a une ligne ou à une collone ou tu transforme ta matrice grace o pivot de gauss en une patrice triangulaire (sup ou inf) comme ca le det = produit des termes diagonnaux (faire attention aux opérations elementaires car toute transposition =>det-->det*(-1) )
résoudre le systeme ca doit pas poser pb
Par contre je sais pas ce que c'est que des "vecteurs propres" en tout cas pr la derniere question le but (a mon avis) est d'ecrire D comme une matrice diagonnale (dans une autre base évidemment) comme ca D^n se calcule tout seul et donc M^n se déduit (car M=P^(-1)*D*P) et par recurrence on demontre facilement que M^n=P^(-1)*D^n*P

(c'est peut etre M=P*D*P^-1 mais le principe reste le meme)

up si qui que ce soit peut m'apporter un élément de reponse supplémentaire je lui en serait tres reconnaissant

merci d'avance

la justement je suis sur les valeurs propres ( question 4 du III)

d'apres mon cours :

-soit f une application lineaire de E dans E, on appelle vecteur propre de f tout vecteur v non nul pour lequel il existe un reel a tel que f(v )=av

-l'ensemble des valeurs propres de f est appellé le spectre

-la somme des valeurs propres de f est egale à la trace de la matrice (somme de la diagonale)

A pars ca je n'ai rien d'autre pour trouver comment le calculer, donc si ca vous dit qque chose je suis preneur

OK je vois ce que tu veux dire
Ce quil faut faire a mon avis c échelonner la matrice par la methode du pivot de gauss (en matrice triangulaire quon appellera A' ca suffira)
ensuite ecrire la matrice l*E-A' (l c le lambda)
regarder les valeurs pr lesquelles au moins un seul des termes de la diagonale est nul
car une matrice triangulaire est non inversible <=> au moins l'un des terme diagonnaux est nul et de pplus
A non inversible<=>A' non inversible car les 2 matrices sont equivalentes
et det(A)=0 <=>det(A')=0 <=>A non inversible<=>A' non inversible

En fait l'espace des vecteurs propres c'est l'espace vectoriel engendré par le noyau de l'application

facorise par -I-2 les 2 premiers termes et refactorise par la meme chose le calcul tout entier ca te fera un produit de 1er deg par du 2nd degres