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Besoin d'aide en maths

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour, je suis en 1ere S et j'ai un DM à faire sur les polynômes. J'ai réussi les autres exercices mais sur celui-là je bloque. Voilà l'énoncé:

Considérons le polynôme P(x)=x^4-2x^3-x^2-2x+1.

1) Démontrez que si x0 est une racine alors 1/x0 est une racine de P.

2) Démontrez que l'égalité P(x)=0 est équivalente a x^2-2x-1-2x*1/x+1/x^2=0 pour tout x non nul.

3) Posons X=x+1/x. Démontrer que x est solution de l'équation P(x)=0 si et seulement si X est solution de l'équation X^2-2X-3=0.(1)

4) a) Résoudre l'équation (1) après avoir déterminé un polynôme R(X) tel que X²-2X-3= (X+1)R(X)
b) En déduire que les racines de P sont les solutions de x^2+x+1=0 (2) et les solutions de x^2-3x+1=0.(3)
c) Déterminer la forme canonique de x²+x+x et de x²-3x+1. Résoudre (2) et (3) puis conclure.

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer la méthode pour résoudre la première question? Merci d'avance.

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Q2 =>
  • il faut factoriser ton poly par x² P(x) = ... = (x²)(x²-2x-1-(2x/x)+1/x²)
  • tu en déduis que P(x) = 0 <=> (x²)(x²-2x-1-(2x/x)+1/x²) = 0 <=> { x² = 0 } ou { x²-2x-1-(2x/x)+1/x² = 0 }
  • Or x² = 0 <=> x = 0 ce qui est impossible d'après Q1.
  • On en déduit que P(x) = 0 <=> x²-2x-1-(2x/x)+1/x² = 0

    Q3 =>
  • x²-2x-1-(2x/x)+1/x² = .... = X^2-2X-3 avec X=x+1/x
  • Donc avec Q2, P(x) = 0 <=> x²-2x-1-(2x/x)+1/x² = 0 <=> X^2-2X-3 = 0 avec X=x+1/x

    Q4a =>
    Division polynomiale ou si tu ne s'est pas faire calcul barbare jusqu’à trouver R(x) = X-3

    Après je te laisse voir et tu repost si PB.

    Merci d'avoir répondu =).
    Pour la question 2 si j'ai bien compris on peut aussi partir de l'expression de départ et la diviser par x²?
    Pour la question4, ben c'est calcul barbare ^^ mais j'ai bien trouvé R(X)= X-3.
    Et pour le b) de la 4, il faut dire que x^2+x+1=0 et x^2-3x+1=0 donc les deux sont égaux. Ensuite on remplace x par -1 et 3 et on trouve la réponse c'est bien ça?

    Salut,

    Non surtout pas diviser ! En factorisant tu gardes ton équivalence en précisant x<>0
    Jamais on ne divise c'est pas rigoureux car il faut que tu écrives quelque chose du style : P(x) = ... = ... = (x²)(x²-2x-1-(2x/x)+1/x²) au moins tu gardes ton égalité.

    Pour 4b je ne comprends pas trop ce que tu veux dire.
    L'idée est que tu as des solutions du poly P grâce à 3 et 4a : x0 tel que X0 = x0 + 1/x0 = -1 et x1 tel que X1 = x1 + 1/x1 = 3.

    Tu calcules ces soltions et tu t'apperçois que ce sont des solutions de (2) et (3).

    Pour 4C tu déduis la forme canonique grâce à 4B.

    D'accord je crois que j'ai compris.
    EN fait, il faut faire 1+1/x=3 <=> x+1/x-3=0 puis on multiplie les deux termes par x et on obtient x²+1-3x qui correspond bien à l'équation que l'on devait trouver.
    Pour la deuxième, cela donne 1+1/x=-1 <=> x + 1/x +1 = 0 <=> x²+x+1=0.
    C'est bien ça?
    Et pour les formes canoniques, ça donne (2) = (x+1/2)²+3/4 et pour (3)= (x-3/2)²-5/4?? Je pense que c'est bon cette question. Merci de m'avoir répondu.
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