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Maths : dérivabilité

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour,

J'ai un devoir de maison en maths à rendre pour lundi. Le niveau, c'est Terminale S :

Exercice 4 :

Soit f (x) = 0 si x = 0
f (x) = x sin (1/x) si x ≠ 0

Questions : Etudier la continuité de f en 0 :

f est continue sur R*

Etudier la dérivabilité de f en 0 :

Je bloque complètement ici car je calcule la limite du quotient [ f (x) - f (0) ] / (x - 0) lorsque x -> 0 .
Or f (0) est impossible à calculer puisque Df = R* ...
Comment faire car en utilisant le nombre dérivé, l'autre méthode possible est en utilisant la variable h quand h tend vers 0 ! Mais là encore j'ai le même problème : j'ai un f (0) dans le quotient, ce qui est impossible à calculer !


Espérant une réponse, merci d'avance.

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oui,oui, f(x)/x, donne sin (1/x) qui qd on prend sa limite en 0 tend vers une valeur comprise entre -1 et 1.

De plus, tu peux préciser que si tu étudier la continuité de f(x) en 0, tu as bien lim f(x) ,avec x qui tend vers 0+ ou 0-, qui tend vers 0, d'ou le prolongement en 0 que propose l'énoncé.

kade_07 a dit :
oui,oui, f(x)/x, donne sin (1/x) qui qd on prend sa limite en 0 tend vers une valeur comprise entre -1 et 1.

De plus, tu peux préciser que si tu étudier la continuité de f(x) en 0, tu as bien lim f(x) ,avec x qui tend vers 0+ ou 0-, qui tend vers 0, d'ou le prolongement en 0 que propose l'énoncé.


Donc pour étudier la dérivabilité, il n'est pas utile de calculer la limite du quotient (f(x) - f(a)) / x-a lorsque x tend vers a ?

kade_07 a dit :
sisisisisi. C'est un complement. pour qu'une fonction soit dérivable en 0, il faut qu'elle soit continue (mais continue nimplique pas dérivable)


D'accord, d'accord !! Mais mon problème c'est que pour calculer la limite du quotient f(x) - f(a) / x - a , qand x tend vers 0, je me retrouve donc avec un f(0) dans mon quotient, je ne sais pas trop comment faire car f est définie sur R* ...

prolonge f en 0 par f(0) = 0
avant d'étudier la dérivabilité, il faut qu'elle soit continue.
on rajoute f(0) = 0 pour la rendre continue
puis on commence à étudier la dérivabilité, je pense que tu vas tourner en rond, elle ne me semble pas dérivable en 0 ( sin(1/x) a des pentes de plus en plus raides proche de 0).

pascal16 a dit :
prolonge f en 0 par f(0) = 0
avant d'étudier la dérivabilité, il faut qu'elle soit continue.
on rajoute f(0) = 0 pour la rendre continue
puis on commence à étudier la dérivabilité, je pense que tu vas tourner en rond, elle ne me semble pas dérivable en 0 ( sin(1/x) a des pentes de plus en plus raides proche de 0).



D'accord, je vois : je résume

"f est continue en 0, donc f est peut-être dérivable en 0. Soit :

lim f(x) - f(0) / x - 0
x->0
= lim x sin (1/x) / x
x -> 0
= lim sin (1/x)
x -> 0
par simplification par x, facteur commun.

Or Ensemble de définition de sin (1/x) = R*
Donc, sin (1/x) est DIScontinue en 0, donc non dérivable en 0.

Par conséquent, on en déduit que f n'est pas dérivable en 0."


Je pense que c'est ça. Ai-je raison ?

Merci.

pascal16 a dit :
sin(1/x) est un fonction composée, conclure directement qu'elle n'est pas continue en 0, c'est la même erreur que tu faisais au départ.

Si
lim sin (1/x)
x -> 0
existerait alors

lim sin (x)
x -> infini
existerait, or c'est faux.



Donc si j'ai bien compris, il faut que je rajoute :
"Si
lim sin (1/x)
x -> 0
existerait alors

lim sin (x)
x -> infini
existerait, or c'est faux."

Puis, je pourrais affirmer que f n'est pas dérivable 0 ? Ou il faut préciser davantage ?
Faut-il obligatoirement avoir une fonction de référence (et pas une fonction composée) pour pouvoir conclure ?

x * (1/x) est composée.
non continue en 1
et tu n'as sans doute pas de problème pour la prolonger en 0 et lui donner une dérivée
elle vaut 1 partout sauf en 0, a une dérivée nulle partout sauf en 0. En la prolongeant par f(0)=1, elle deviens continue et continument dérivable.
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