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Problème exercice Maths (Diophante) - 1ere année

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour à tous,

Je suis en première année d'école d'ingénieur, j'ai un contrôle bientôt en arithmétique. Je veux refaire le contrôle de l'année dernière mais je suis bloqué sur un exercice. J'ai vu dans mon TD où il y avait le genre d'exercice qu'il fallait utiliser le théorème de Diophante mais j'ai du mal à le comprendre malgrès mes recherches (infructueuse ! :(  )


Voici l'énoncé:

" On considère les monbres écrits en base 10, formés de 3 chiffres, le premier à gauche n'étant pas nul.
Combien y en a-t-il formés de 3 chiffres tous distincts ?
Combien formés de trois chiffres croissants au sens large ?
Combien y en a-t-il ayant 2 (et seulement 2) chiffres égaux ?
Combien de nombres ont la somme de leurs trois chiffres égale à 10 ?
Combien dont cette somme est égale à 11 ? "


Merci d'avance pour vos explications

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Meilleure solution

écrivons le nombre avec 3 chiffres "abc"
sa valeur algébrique est a*100 + b *10 +c

combien y a t-il de nombres à 3 chiffres dont le premier n'est pas 0 :
9 choix pour a
10 choix pour b
10 choix pour b
= 900 choix
ça tombe bien, se sont les nombres de 100 à 999 qui sont au nombre de : 999-100+1 = 900

combien y a t-il de nombres à 3 chiffres dont le premier n'est pas 0 et avec des chiffres tous distincts :
9 choix pour a (de 1 à 9)
9 choix pour b : de 0 à 9 mais pas a
8 choix pour c : de 0 à 9 mais pas a ni b
soit 9*9*8 = 648

de chiffres croissants :
pour a = 1, on remarque qu'il y en a 45, car écris dans l'ordre, il y a n(n+1)/2 nombres
c'est somme pour i de 1 à 9 de (i*/(i+1)/2)
= 45+36+28+21+15+10+6+3+1
=165

2 chiffres égaux :
a et b égaux : 9 choix, c différent 9 choix = 81 possibilités
a et c égaux : 9 choix, b différent 9 choix = 81 possibilités
b et c égaux mais pas 0 : 9 choix, a différent 8 choix = 72 possibilités
b=c=0 : 9 choix pour a
81+81+72+9=243

a+b+c = 10
là, je vois pas trop, peut etre compter à la main dans l'ordre croissant et multiplier par les combinaisons (3 ou 6 combinaisons possibles suivant le cas)
118 - 181 - 811
127 - 172 - 217 - 712 - 721
136 - 163 - 361 - 316 - 613 - 631
145 - 154 - 451 - 415 - 514 - 541
226 - 262 - 622
235 - 253 - 325 - 352 - 523 - 532
244 - 424 - 442
334 - 343 - 433
30 ?

théorème de Diophante", je ne connais pas. Mais là il me semble que les premières questions relèvent du dénombrement.
Exemple :
Combien y en a-t-il formés de 3 chiffres tous distincts ?
tu as 9 choix pour le 1er chiffre, 9 pour le second et 8 pour le dernier, donc 9*9*8 choix au total. Non?
Pour les deux dernières questions, en revanche, tu vas peut-être devoir écrire des équations dont les inconnues sont les chiffres du nombre. Et on les appelle des équations diophantiennes. Mais ça ne demande pas beaucoup d'efforts de les résoudre quand tu sais que les solutions sont inférieures à 9...

Bonjour johnarvet,

Oui première question, je suis d'accord j'ai trouvé ça.
Pour la 2e et 3e questions, tu fais cmt avec le dénombrement (c'est une partie que j'ai vraiment pas très bien compris) ?

Pour les deux dernières, pourrais-tu juste me décrire cmt fait-on ?


Merci beaucoup pour tes réponses !!!

"Savoir", c'est sûr que non. Disons que si j'avais à résoudre l'exercice, je le ferais à la main, avec des arbres (pas forcément entièrement écrits) au lieu de passer du temps à chercher une solution plus élégante. Mais il y a des gens qui trainent parfois sur ce forum et qui auraient, je suis sûr, des idées à ce sujet

pascal16 a dit :


de chiffres croissants :
pour a = 1, on remarque qu'il y en a 45, car écris dans l'ordre, il y a n(n+1)/2 nombres
c'est somme pour i de 1 à 9 de (i*/(i+1)/2)
= 45+36+28+21+15+10+6+3+1
=165



Ca je ne l'est pas compris, i représente quoi et à quoi correspond cette formule ?


pascal16 a dit :

a+b+c = 10
là, je vois pas trop, peut etre compter à la main dans l'ordre croissant et multiplier par les combinaisons (3 ou 6 combinaisons possibles suivant le cas)
118 - 181 - 811
127 - 172 - 217 - 712 - 721
136 - 163 - 361 - 316 - 613 - 631
145 - 154 - 451 - 415 - 514 - 541
226 - 262 - 622
235 - 253 - 325 - 352 - 523 - 532
244 - 424 - 442
334 - 343 - 433
30 ?



Non pas à la main, ça je suis sûr :)  mais faut utiliser Diophante ou les dénombrements


MERCI BEAUCOUP en tout cas pour tes précieuses minutes avec moi :) 
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