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Math

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

besoin d'aide merci , voici le problème

on considère un rectangle ABCD tel que AB=8 et AD=10 .
M est un point variable sur le segment [AB]. on considère le point J du segment [AD] et le point I tels que AMIJ soit un carre.
on note H le point d'intersection des droites (IJ) et (BC) et K le point d'intersection des droites (MI) et K le point d'intersection des droites (MI) et (CD).
1. par une méthode de son choix, déterminer les positions du point M pour lesquelles la somme des aires des quadrilatères AMIJ et CKIH est égale a la moitie de l'aire du rectangle ABCD.
2. déterminer le plus précisément possible, par une méthode de son choix, les positions du point M pour que cette aire soit égale a 50
3. pour quelle position de M sur [AB] l'aire semble-t-elle minimale? expliquer sa méthode

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Commence par faire un schéma, ça sera plus clair pour toi. Il faut que tu poses "x" la valeur d'un côté du carré AMIJ.

Ensuite tu formalises la valeur de chaque aire dont tu as besoins: AMIJ, CKIH et ABCD
Aire de AMIJ = x * x = x²
Aire de ABCD = 8 * 10 = 80
Aire de CKIH = ([AD] - x) * ([AB] - x) = (10 - x)(8 - x)

Il ne te reste plus qu'à formaliser la question n°1 sous forme d'une équation.

Citation :
je n'arrive pas a formaliser d'équation j'ai des x et x au carré
merci


C'est normal.

Tu formalises la question 1 en équation:
Citation :
1. par une méthode de son choix, déterminer les positions du point M pour lesquelles la somme des aires des quadrilatères AMIJ et CKIH est égale a la moitie de l'aire du rectangle ABCD.


Q: "Aire de AMIJ" + "Aire de CKIH" = "Aire de ABCDE"/2

Aire de AMIJ = x²
Aire de CKIH = (10 - x)(8 - x)
Aire de ABCDE = 80/2

Donc:
Q: x² + (10 - x)(8 - x) = 80/2
Q: x² + (10 - x)(8 - x) = 40

Tu développes et tu passe tout du même coté:
Q: x² + 80 - 18x + x² - 40 = 0
Q: 2x² - 18x + 40 = 0

C'est un polygone du second degré donc tu calcules delta (b² - 4ac), tu as déjà vu le calcul de "delta" ?
∆ = (-18)² - 4 * 2 * 40
∆ = 324 - 320
∆ = 4

∆ > 4 donc tu obtiens:
x1= (- b + √delta) / (2a) = (18 + 2)/4 = 5
x2= (- b - √delta) / (2a) = (18 - 2)/4 = 4

Tu factorises: a(x - x1)(x - x2)
Q: 2(x - 5)(x - 4) = 0

Puis tu résous l'équation Q:
Soit x - 5 = 0 ou x - 4 = 0
x = 5 ou x = 4

Il y a donc 2 solutions: S = {4; 5}

Par conséquent, le carré AMIJ peut avoir un coté d'une valeur de 4 ou de 5, ce qui t'indique la position du point M sur le segment [AB].


Suis-je assez clair?

Citation :
2. déterminer le plus précisément possible, par une méthode de son choix, les positions du point M pour que cette aire soit égale a 50
Pour la question 2, c'est exactement pareil sauf qu'il faut que tu changes l'équation que tu as formulé en 1.

Q2: x² + (10 - x)(8 - x) = 50
Q2: x² + 80 - 18x + x² = 50
Q2: x² + 80 - 18x + x² - 50 = 0
Q2: 2x² - 18x + 30 = 0

Tu peux simplifier ton équation par 2 par soucis de clarté:
Q2: (2x² - 18x + 30)/2 = 0
Q2: x² - 9x + 15 = 0

Tu calcules Delta:
∆ = (-9)² - 4*1*15
∆ = 81 - 60
∆ = 21

∆ > 0 donc tu obtiens 2 racines:
x1= (- b + √delta) / (2a) = (9 + √21)/2 = 18 + 2√21
x2= (- b - √delta) / (2a) = (9 - √21)/2 = 18 - 2√21

Factorisation sous la forme a(x - x1)(x - x2)
Q2: (x - 18 - 2√21)(x - 18 + 2√21) = 0

Donc:
Soit x - 18 - 2√21 = 0 ou x - 18 + 2√21 = 0
Soit x = 18 + 2√21 ou x = 18 - 2√21

S = {18 + 2√21; 18 - 2√21}

18 + 2√21 ≈ 27.165
18 - 2√21 ≈ 8.834
Il s'agit des 2 valeurs que le côté de AMIJ peut prendre pour que la somme des aires de AMIJ et CKIH soit égale à 50. Et encore une fois, la valeur d'un côté de AMIJ détermine la position du point M.
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