Récurrence petite info

bonjour.

en vue d'un bac blanc, j'ai decidé de faire des exos en plus
sur un bouquin (100 pourcent exo ) et je ne comprend pas bien une
réponse et se serais gentil de votre part de m'éclaircir.

Soit (Un) une suite definie par Uo=3 et :

pour tout n E N, Un+1 = 2Un-1,

démonter que, pour tout nEN, Un= 2^(n+1)+1.

ma solution :

pour nEN. 2^(0+1)+1=3. la propriété est donc démontrée au rang 0.

on suppose que pour un certrain entier n (nEN)

Un+1= 2(2^(n+1)+1)-1 = 4^(n+1)+2-1 = 4^(n+1)+1

dans la correction il font pareil que moi sauf qu'il dise : = 2^(n+2)+1
et je ne comprend pas comment il trouve cela.
help me please. bon weekend