Algebre Probleme Cas general

Bonjour J'ai un soucis pour un problème (J'ui asser nul en math :s)
Dans le cas général démontrer que pour deux entiers consecutifs
n et n+1 alors
n²+(n+1)²+n²x(n+1)²
est le carré d'un nombre entier

Merci d'avance
PS: x = multiplier et non X

n et n+1 sont forcément consécutifs

L'idée c'est de factoriser astucieusement, on sait que ça sera un polynome de degrès 2 au carré en n, reste à le trouver.

2 solutions :

Soit tu prends une calculette qui va fortement t'aiguiller vers une bonne factorisation

Soit en développant tu te rends compte que le polynome est symétrique ce qui t'incite à poser n=t+1/t

Tu trouves les racines en t+1/t, tu en déduis celles en n et tu remarques qu'elles sont toutes de multiplité paire

J'ai pas mieux pr l'instant...

Moi je pense comme johnarvet. Calcule les 1ers termes, conjecture une formule et démontre là par récurrence ou en développant/factorisant.

C'est juste, mais encore faut il reconnaitre la factorisation "évidente" (lol)...qui ne l'était pas pour moi en tous cas.

Honnêtement, en devoir, prends la calto elle te dira que c'est le carré de (n²+n+1) qu'il suffira de redévelopper pour démontrer.

Sinon le changement de variable n=t+1/t marche mais j'avoue que c'est lourd en calculs.

Oui

Le raisonnement est mathématiquement correct, mais si on te demande comment tu as senti le point de départ...ça va pas être facile à expliquer à part dire " ça se voit".

Je n'ai pas envie de refaire tous les calculs mais l'idée est qu'on sait calculer les racines d'un polynome de degrés 4 symétrique

Tu développes ton expression, tu factorise pas n² et tu isoles des termes de la forme :
a(n+1/n) + b(n²+1/n²) +c et tu te rends compte que (n+1/n)² c'est à une constante près n²+1/n².

Tu poses donc t=n+1/n et tu résous une bête équation de degrés 2 en t...et tu remontes à n ensuite.