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Algebre Probleme Cas general

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Bonjour J'ai un soucis pour un problème (J'ui asser nul en math :s)
Dans le cas général démontrer que pour deux entiers consecutifs
n et n+1 alors
n²+(n+1)²+n²x(n+1)²
est le carré d'un nombre entier

Merci d'avance
PS: x = multiplier et non X


Message édité par turimo le 11-11-2009 à 18:27:35
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Calcule n²+(n+1)²+n²x(n+1)² pour n=0, n=1, n=2.
Une formule se dessine-t-elle?

Répondre à johnarvet

Citation :

deux entiers consecutifs n et n+1



n et n+1 sont forcément consécutifs :D

L'idée c'est de factoriser astucieusement, on sait que ça sera un polynome de degrès 2 au carré en n, reste à le trouver.

2 solutions :

Soit tu prends une calculette qui va fortement t'aiguiller vers une bonne factorisation

Soit en développant tu te rends compte que le polynome est symétrique ce qui t'incite à poser n=t+1/t

Tu trouves les racines en t+1/t, tu en déduis celles en n et tu remarques qu'elles sont toutes de multiplité paire

J'ai pas mieux pr l'instant... :/

Répondre à abel_b

Hum Merci a vous Deux j'vais essayer de m'debrouiller :/

Répondre à turimo

Moi je pense comme johnarvet. Calcule les 1ers termes, conjecture une formule et démontre là par récurrence ou en développant/factorisant.

Répondre à ubiba

Sur un autre Forum on m'a dit , possible?

Citation :


Vous devez surement connaître la formule (a+b)².

Il suffit de l'utiliser pour [n(n+1) +1 ]²=....

Répondre à turimo

C'est juste, mais encore faut il reconnaitre la factorisation "évidente" (lol)...qui ne l'était pas pour moi en tous cas.

Honnêtement, en devoir, prends la calto elle te dira que c'est le carré de (n²+n+1) qu'il suffira de redévelopper pour démontrer.

Sinon le changement de variable n=t+1/t marche mais j'avoue que c'est lourd en calculs.

------------------------------ Ce que nous ignorons a plus d’influence sur nos vies que ce que nous savons
Répondre à abel_b

En mettant :
[n(n+1) +1]²
=[n(n+1)]²+2*n(n+1)*1+1²
=n²(n+1)²+2n²+2n+1
=n²(n+1)²+n²+ n²+2n+1
=n²(n+1)²+n²+ (n+1)²

(de bas en haut)

Je peut en déduire qu'il est le carrer d'un ombre entier?

Répondre à turimo

Oui

Le raisonnement est mathématiquement correct, mais si on te demande comment tu as senti le point de départ...ça va pas être facile à expliquer à part dire " ça se voit".

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Répondre à abel_b

Pourrait tu m'expliquer Ta théorie Avec plusieurs étapes stp ?
Ou donne moi ton msn Par privée pour éviter les mutli

Répondre à turimo

Je n'ai pas envie de refaire tous les calculs mais l'idée est qu'on sait calculer les racines d'un polynome de degrés 4 symétrique

Tu développes ton expression, tu factorise pas n² et tu isoles des termes de la forme :
a(n+1/n) + b(n²+1/n²) +c et tu te rends compte que (n+1/n)² c'est à une constante près n²+1/n².

Tu poses donc t=n+1/n et tu résous une bête équation de degrés 2 en t...et tu remontes à n ensuite.

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Répondre à abel_b
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