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Algebre Probleme Cas general

Dernière réponse : dans Etudes - Travail
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Citation :
deux entiers consecutifs n et n+1


n et n+1 sont forcément consécutifs :D 

L'idée c'est de factoriser astucieusement, on sait que ça sera un polynome de degrès 2 au carré en n, reste à le trouver.

2 solutions :

Soit tu prends une calculette qui va fortement t'aiguiller vers une bonne factorisation

Soit en développant tu te rends compte que le polynome est symétrique ce qui t'incite à poser n=t+1/t

Tu trouves les racines en t+1/t, tu en déduis celles en n et tu remarques qu'elles sont toutes de multiplité paire

J'ai pas mieux pr l'instant... :/ 

C'est juste, mais encore faut il reconnaitre la factorisation "évidente" (lol)...qui ne l'était pas pour moi en tous cas.

Honnêtement, en devoir, prends la calto elle te dira que c'est le carré de (n²+n+1) qu'il suffira de redévelopper pour démontrer.

Sinon le changement de variable n=t+1/t marche mais j'avoue que c'est lourd en calculs.

Je n'ai pas envie de refaire tous les calculs mais l'idée est qu'on sait calculer les racines d'un polynome de degrés 4 symétrique

Tu développes ton expression, tu factorise pas n² et tu isoles des termes de la forme :
a(n+1/n) + b(n²+1/n²) +c et tu te rends compte que (n+1/n)² c'est à une constante près n²+1/n².

Tu poses donc t=n+1/n et tu résous une bête équation de degrés 2 en t...et tu remontes à n ensuite.
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