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Exercice TS

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour tout le monde, si je poste ce message c'est que je galère pour un de mes exercices de maths et j'ai l'espoir que vous m'aidiez a le faire ( svp :p  ). Voici l'énoncé :
Soi p le nombre réel ayant pour écriture décimale infinie p = 2,135 135 ... 135 ... 135
On définit la suite (Un) en posant, pour tout n > 0 Un = 2 + (135/10^3) + (135/10^6) + ... + (135/10^3n)
a) Calculer U1 et U2. Exprimer Un en fonction de n
b) Montrer que (Un) converge et déterminer sa limite
c) En déduire, en admettant que p est la limite de la suite (Un), que p est un nombre rationnel et donner son écriture fractionnaire. Vérifier le résultat obtenu.

Pour le a) j'ai U1 = 2,135 et U2 = 2,135135 et je trouve Un+1 = Un + (135/10^3n) mais je parvient pas a trouver la forme Un, quand au reste c'est le flou :S.

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Meilleure solution

a) ras, Un est déjà donné en fonction de n, on peut juste en modifier son écriture avec une somme propre.
2) Un = 2, 135 135 135 135 (n fois)
|p-Un| < 10 * 10^(3n)
c : on admet pas, on l'a démontré à la question précédente
p = 2+135/999 = 2133/999 =79/37, dur d'y arriver avec ce raisonnement.

Un = 2 + somme pour i=1 à n de (135/10^3i)

pour l convergence, erreur de signe dans le exposant
|p-Un| < 10 * 10^(-3n)
soit
|p-Un| < 10^(-3n+1)

soit epsilon aussi petit que l'on veut
il exite un a plus grand que 2 dans N tel que 10^-a < epsilon
dans ce cas, 10^(-3a+1) < 10^-a < epsilon

si l'on choisi n = a, on a
|p-Un| < 10^(-3n+1) < epsilon
cqfd
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