Arithmétique exercice vrai/faux (TermS spé)

Pas d'idée ?

1/ si deux nombres ne sont pas premieres entre eux, alors il ont un diviseur commun, appelons le a, alors leur différence est proportionnelle à a.
2n+1 - 2n-1 = 2
donc seul 2 est candidat
or il ne sont pas paires

2 : dans le sens facile
si x=1 modulo 5
x²=1 modulo5 aussi (x=5a+1 -> x²= 25a+10a+1 vaut aussi 1 modulo5)
ok

dans le sens compliqué, essais x=0;1;2;4 modulo 5 et montre que c'est juste ou faux

3 : division euclidienne ?

4 : récurrence ?

5 : faux pour 6, non ?

1) J'avais pensé utiliser le fait que si 2 nombres sont premiers entre eux alors leur pgcd est égal à 1 mais une fois cette condition exposée je ne sais pas comment avancer. Parce que je ne comprends pas pourquoi on peut dire que leur différence est proportionnelle à a, leur diviseur commun supérieur à 1.

2)J'ai trouvé que c'était faux puique ça marche également pour x=3 modulo 5 grâce à une disjonction de cas

3)J'ai essayé avec les congruences mais je ne suis pas sure de mon raisonnement.
Si N divisible par 7 alors N=0 modulo 7 donc 1000a+100b+10a+7=0 modulo 7
il faut donc que 1010a+100b=0 modulo 7
1010=2 modulo 7 et 100=2 modulo 7
Et j'en suis restée là parce que je ne sais pas si c'est juste et si je vais aboutir à quelque chose.
Sinon avec la division euclidienne je ne vois pas trop comment faire.

4)J'ai encore utilisé les congruences avec des disjonctions de cas et je trouve que c'est faux

5)Pourtant je trouve que ça marche pour 6
2^6-1=63 et 63=9*7 donc 2^6-1 est bien divisible par 9 non ?

1)Raisonne par l'absurde si tu préfères.
Je suppose que 2n-1 et 2n+1 ne sont pas premiers entre eux.
Alors il existe a,b,q €(N*)^3 avec a<b et q>1 tel que 2n-1=a*q et 2n+1=b*q (équivalent à q divise 2n-1 et 2n+1)

Alors on a 2n+1 - 2n-1 = bq - aq =q(b-a)=2

Or b-a€N donc q divise 2 or q>1 donc q=2. Cependant 2n+1 impair donc n'est pas divisible par 2. Ceci est absurde donc 2n-1 et 2n+1 premiers entre eux.

5) Ca a l'air de marcher, si j'étais toi j'essaierais une récurrence (attention à bien la formuler !)


EXO 3 :

1) Essaye 3 et 9 ^^

Merci pour ta réponse à la proposition 1 ubida j'ai compris le raisonnement  
Par contre je n'arrive pas à tirer un résultat de la récurrence pour la proposition 5

Pour l'exo 3, 1) je ne sais pas si je peux me contenter de donner un contre exemple pour justifier ma réponse :s

C'est tout l'intérêt du contre exemple. Je te laisse méditer là dessus ^^

Pour la 5) effectivement c'est trop dûr : on oublie la récurrence. On doit prouver une équivalence, essaye de faire un sens puis l'autre.

Merci de ton aide ubida ça m'a parmis de bien avancer déjà  
Mais je pense que je vais laisser de côté la 5) je n'y arrive vraiment pas

J'ai réussi le sens facile n=6p => 2^n-1=9k mais je bloque sur l'autre.
Je n'ai plus refait d'arithmétique de ce genre depuis ma TS donc j'ai un peu oublié (et les congruences c'était pas mon fort) ^^
Bonne chance pour la suite.

Merci quand même. C'est sur que quand on pratique pas on oublie ^^