DM maths prépa: arc-paramétrée et équa-dif
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjour,
Je sollicite votre aide, pour deux petits exercices de maths:
-Le premier porte sur la courbe paramétrée.
Voici l'énoncé:
![]()
http://img524.imageshack.us/img524/6665/numrisation0024.jpg
Voici mes réponses:
"1. g'(t)=2.f'(t²).t
2. tЄ]-∞;-1-1;+∞[
a) lim x(t)=+ et lim y(t)=3/2
t-->-1+ t-->-1+
La courbe C admet pour asymptote horizontale la droite D' d'équation y=3/2 lorsque t tend vers -1+.
De plus, pour t≠-1:
y(t)-3/2=[(t²+1/2)(t-1)(t+1)]/(t²-1)
d'où lim (y(t)-3/2)=3/2
t-->-1+
Donc C est au dessus de son asymptote D' lorsque t tend vers -1+
b)De même, lim x(t)=- et lim y(t)=3/2 avec lim (y(t)-3/2)=3/2
t-->-1- t-->-1- t-->-1-
C admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=3/2 lorsque t tends vers -1- et C est au dessus de la droite D' lorsque t tend vers -1-
c) lim x(t) = + et lim y(t)=+∞
t-->+ ∞ t-->+∞
De plus lim y(t)/x(t)= +∞
t-->+∞
C admet une branche parabolique dans la direction des y postifs quand t tend vers +
d) lim x(t) = - ∞ et lim y(t)=+∞
t-->-∞ t-->-∞
De plus lim y(t)/x(t)= -∞
t-->-∞
C admet une branche parabolique dans la direction des y postifs quand t tends vers -∞."
Voili voilou.
Je me rends compte que mon étude ne colle pas du tout avec la courbe tracée à la calculatrice (TI-83).
D'autre part, je n'ai pas du tout exploité la question préliminaire.
- le second exercice porte sur l'équation différentielle où seule la question 3 me pose problème.
Voici l'énoncé:
![]()
http://img513.imageshack.us/img513/3050/numrisation0025.jpg
Mes réponses:
"1. En utilisant la méthode des limites, on a:
a=-1, b=1/2, c=1/2
d'où 1/(x(x²-1)=-1/x+b/(2(x-1))+1/(2(x+1))
2.
a) Résolution de l'équation homogène: x(x²-1)y'+2y=0
y'=-2y/(x(x²-1))=(2/x-(1/(x-1))-(1/(x+1)))y
-Sur I3=]0;1[ et sur I2=]-1;0[,
y(x)= K x²/(1-x²)
-Sur I1=]-∞;-1[ et sur I4=]1;+∞[:
y(x)= K x²/(x²-1)
b) Recherche d'une solution particulière:
Par la méthode de la variation de la constante, j'ai K(x)= C
---> Solution générale:
-Sur I3=]0;1[ et sur I2=]-1;0[,
y(x)= (ln|x|+C). x²/(1-x²)
-Sur I1=]-∞;-1[ et sur I4=]1;+∞[:
y(x)= (ln|x|+C). x²/(x²-1)
3. ?
Le sens de la question 3 m'échappe puisqu'il était admis au préalable que les solutions ne sont pas définies entièrement sur R.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Je sollicite votre aide, pour deux petits exercices de maths:
-Le premier porte sur la courbe paramétrée.
Voici l'énoncé:
http://img524.imageshack.us/img524/6665/numrisation0024.jpg
Voici mes réponses:
"1. g'(t)=2.f'(t²).t
2. tЄ]-∞;-1-1;+∞[
a) lim x(t)=+ et lim y(t)=3/2
t-->-1+ t-->-1+
La courbe C admet pour asymptote horizontale la droite D' d'équation y=3/2 lorsque t tend vers -1+.
De plus, pour t≠-1:
y(t)-3/2=[(t²+1/2)(t-1)(t+1)]/(t²-1)
d'où lim (y(t)-3/2)=3/2
t-->-1+
Donc C est au dessus de son asymptote D' lorsque t tend vers -1+
b)De même, lim x(t)=- et lim y(t)=3/2 avec lim (y(t)-3/2)=3/2
t-->-1- t-->-1- t-->-1-
C admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=3/2 lorsque t tends vers -1- et C est au dessus de la droite D' lorsque t tend vers -1-
c) lim x(t) = + et lim y(t)=+∞
t-->+ ∞ t-->+∞
De plus lim y(t)/x(t)= +∞
t-->+∞
C admet une branche parabolique dans la direction des y postifs quand t tend vers +
d) lim x(t) = - ∞ et lim y(t)=+∞
t-->-∞ t-->-∞
De plus lim y(t)/x(t)= -∞
t-->-∞
C admet une branche parabolique dans la direction des y postifs quand t tends vers -∞."
Voili voilou.
Je me rends compte que mon étude ne colle pas du tout avec la courbe tracée à la calculatrice (TI-83).
D'autre part, je n'ai pas du tout exploité la question préliminaire.
- le second exercice porte sur l'équation différentielle où seule la question 3 me pose problème.
Voici l'énoncé:
http://img513.imageshack.us/img513/3050/numrisation0025.jpg
Mes réponses:
"1. En utilisant la méthode des limites, on a:
a=-1, b=1/2, c=1/2
d'où 1/(x(x²-1)=-1/x+b/(2(x-1))+1/(2(x+1))
2.
a) Résolution de l'équation homogène: x(x²-1)y'+2y=0
y'=-2y/(x(x²-1))=(2/x-(1/(x-1))-(1/(x+1)))y
-Sur I3=]0;1[ et sur I2=]-1;0[,
y(x)= K x²/(1-x²)
-Sur I1=]-∞;-1[ et sur I4=]1;+∞[:
y(x)= K x²/(x²-1)
b) Recherche d'une solution particulière:
Par la méthode de la variation de la constante, j'ai K(x)= C
---> Solution générale:
-Sur I3=]0;1[ et sur I2=]-1;0[,
y(x)= (ln|x|+C). x²/(1-x²)
-Sur I1=]-∞;-1[ et sur I4=]1;+∞[:
y(x)= (ln|x|+C). x²/(x²-1)
3. ?
Le sens de la question 3 m'échappe puisqu'il était admis au préalable que les solutions ne sont pas définies entièrement sur R.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Autres pages sur : maths prepa arc parametree equa dif
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Meilleure solution
A trouver la nature des points : régulier, d'inflexion, de rebroussement de 1ère espèce, de rebroussement de 2nde espèce et donc de mieux tracer la figure.
Maple est, au même titre que Mathematica, est un logiciel de calcul formel. Il permet de faire un tas de trucs inutiles mais aussi de soulager de calculs fastidieux les taupins ou de faire de jolis dessins là où on fait un mieux un vague croquis difforme.
Maple est, au même titre que Mathematica, est un logiciel de calcul formel. Il permet de faire un tas de trucs inutiles mais aussi de soulager de calculs fastidieux les taupins ou de faire de jolis dessins là où on fait un mieux un vague croquis difforme.
Trop petit écrit c'est !
Heureusement que j'ai de bons yeux.
Pour le 1 tu as y(t) = x(t²) donc si tu as x'(t), tu as y'(t). J'ai pas vérifié tes calculs mais ca m'étonne que tu n'aies pas calculé les 2 dérivés pour tracer le tableau de variation : à mon avis le préliminaire sert à ca.
Pour le 2, (ici encore j'ai pas fait les calculs)
Ta solution particuliere ne peut pas être un polynôme si tu regardes soigneusement les degrés de l'expression. En revanche avec la variation de la constante ca marche sans soucis : revois tes calculs. EDIT : la variation de la constante ne donne pas une constante ^^ tu as K(x)=ln(|x|) et là je suis d'accord.
Pour les solutions sur R, il faut utiliser la méthode de raccordement. Tu choisis 2 intervalles puis tu essayes de trouver des solutions qui vérifient la continuité et la dérivabilité sur ces 2 intervalles. Puis enfin tu recommences sur 2 autres etc...
Si tu l'as jamais fait tu ne peux pas l'inventer en revanche si tu l'as déjà fait, revois la méthode qui est à connaître.
Heureusement que j'ai de bons yeux.
Pour le 1 tu as y(t) = x(t²) donc si tu as x'(t), tu as y'(t). J'ai pas vérifié tes calculs mais ca m'étonne que tu n'aies pas calculé les 2 dérivés pour tracer le tableau de variation : à mon avis le préliminaire sert à ca.
Pour le 2, (ici encore j'ai pas fait les calculs)
Ta solution particuliere ne peut pas être un polynôme si tu regardes soigneusement les degrés de l'expression. En revanche avec la variation de la constante ca marche sans soucis : revois tes calculs. EDIT : la variation de la constante ne donne pas une constante ^^ tu as K(x)=ln(|x|) et là je suis d'accord.
Pour les solutions sur R, il faut utiliser la méthode de raccordement. Tu choisis 2 intervalles puis tu essayes de trouver des solutions qui vérifient la continuité et la dérivabilité sur ces 2 intervalles. Puis enfin tu recommences sur 2 autres etc...
Si tu l'as jamais fait tu ne peux pas l'inventer en revanche si tu l'as déjà fait, revois la méthode qui est à connaître.
ubiba a dit :
Trop petit écrit c'est !Heureusement que j'ai de bons yeux.
Pour le 1 tu as y(t) = x(t²) donc si tu as x'(t), tu as y'(t). J'ai pas vérifié tes calculs mais ca m'étonne que tu n'aies pas calculé les 2 dérivés pour tracer le tableau de variation : à mon avis le préliminaire sert à ca.
Voilà qui est fait.
Mais le tracé de ma courbe paramétrée pose toujours problème.
ubiba a dit :
Pour le 2, (ici encore j'ai pas fait les calculs)
Ta solution particuliere ne peut pas être un polynôme si tu regardes soigneusement les degrés de l'expression. En revanche avec la variation de la constante ca marche sans soucis : revois tes calculs. EDIT : la variation de la constante ne donne pas une constante ^^ tu as K(x)=ln(|x|) et là je suis d'accord.
En effet: j'avais fait une grossière erreur de simplification.
ubiba a dit :
Pour les solutions sur R, il faut utiliser la méthode de raccordement. Tu choisis 2 intervalles puis tu essayes de trouver des solutions qui vérifient la continuité et la dérivabilité sur ces 2 intervalles. Puis enfin tu recommences sur 2 autres etc...
Si tu l'as jamais fait tu ne peux pas l'inventer en revanche si tu l'as déjà fait, revois la méthode qui est à connaître.
Ca ne me dit absolument rien mais je ferai une recherche là-dessus.
Merci déjà pour tes réponses.
Citation :
d'où lim (y(t)-3/2)=3/2
t-->-1+
Ca m'étonnerait bien puisque y->3/2 en -1. Il faut chercher le comportement aux alentours de 3/2 (en faisant un DL par exemple).
Maple me donne z(t)=y(t)-3/2=-3/2*(1+t)+O((1+t)^2
Donc si t>-1 z<0 donc la courbe est sous sa tangente et inversement pour t<-1.
Le reste a l'air assez juste. Si tu veux tracer correctement ta courbe, commence impérativement par les variations.
Voilà la figure tracée : [img=http://img59.imageshack.us/img59/3561/arcpar.th.jpg]
Tu devrais étudier les points critiques (tels que x'=y'=0)
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