[Résolu] DM maths prépa: arc-paramétrée et équa-dif

Bonjour,

Je sollicite votre aide, pour deux petits exercices de maths:




-Le premier porte sur la courbe paramétrée.
Voici l'énoncé:


http://img524.imageshack.us/img524/6665/numrisation0024.jpg

Voici mes réponses:

"1. g'(t)=2.f'(t²).t

2. tЄ]-∞;-1[U]-1;+∞[

a) lim x(t)=+ et lim y(t)=3/2
t-->-1+ t-->-1+

La courbe C admet pour asymptote horizontale la droite D' d'équation y=3/2 lorsque t tend vers -1+.

De plus, pour t≠-1:
y(t)-3/2=[(t²+1/2)(t-1)(t+1)]/(t²-1)

d'où lim (y(t)-3/2)=3/2
t-->-1+

Donc C est au dessus de son asymptote D' lorsque t tend vers -1+

b)De même, lim x(t)=- et lim y(t)=3/2 avec lim (y(t)-3/2)=3/2
t-->-1- t-->-1- t-->-1-

C admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=3/2 lorsque t tends vers -1- et C est au dessus de la droite D' lorsque t tend vers -1-

c) lim x(t) = + et lim y(t)=+∞
t-->+ ∞ t-->+∞
De plus lim y(t)/x(t)= +∞
t-->+∞

C admet une branche parabolique dans la direction des y postifs quand t tend vers +

d) lim x(t) = - ∞ et lim y(t)=+∞
t-->-∞ t-->-∞

De plus lim y(t)/x(t)= -∞
t-->-∞

C admet une branche parabolique dans la direction des y postifs quand t tends vers -∞."


Voili voilou.

Je me rends compte que mon étude ne colle pas du tout avec la courbe tracée à la calculatrice (TI-83).
D'autre part, je n'ai pas du tout exploité la question préliminaire.

- le second exercice porte sur l'équation différentielle où seule la question 3 me pose problème.
Voici l'énoncé:

http://img513.imageshack.us/img513/3050/numrisation0025.jpg

Mes réponses:
"1. En utilisant la méthode des limites, on a:
a=-1, b=1/2, c=1/2

d'où 1/(x(x²-1)=-1/x+b/(2(x-1))+1/(2(x+1))

2.

a) Résolution de l'équation homogène: x(x²-1)y'+2y=0

y'=-2y/(x(x²-1))=(2/x-(1/(x-1))-(1/(x+1)))y

-Sur I3=]0;1[ et sur I2=]-1;0[,

y(x)= K x²/(1-x²)

-Sur I1=]-∞;-1[ et sur I4=]1;+∞[:

y(x)= K x²/(x²-1)

b) Recherche d'une solution particulière:

Par la méthode de la variation de la constante, j'ai K(x)= C

---> Solution générale:

-Sur I3=]0;1[ et sur I2=]-1;0[,

y(x)= (ln|x|+C). x²/(1-x²)

-Sur I1=]-∞;-1[ et sur I4=]1;+∞[:

y(x)= (ln|x|+C). x²/(x²-1)

3. ?

Le sens de la question 3 m'échappe puisqu'il était admis au préalable que les solutions ne sont pas définies entièrement sur R.








Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Voilà qui est fait.
Mais le tracé de ma courbe paramétrée pose toujours problème.

En effet: j'avais fait une grossière erreur de simplification.

Ca ne me dit absolument rien mais je ferai une recherche là-dessus.

Merci déjà pour tes réponses.

Formidable Ubiba.

Une petite question. Où mène l'étude de mon point stationnaire (ici en t=0) ?
A trouver une tangente ?

D'autre part, qu'est-ce que maple, que je ne connais qu'en tant que cyber carte routière...

J'ai fait des recherches sur la méthode du raccordement: cette solution m'est tout à fait plausible. Hélas, son évocation était trop brève.
Est-il possible que nous la traitions ensemble ?

...
Aucun des mes camarades ne connaît cette méthode...