DM de maths : Démonstration par l'absurde

Le but de cet exercice est de démontrer que la racine carré de 2 (notée V2) est un nombre irrationnel.

Rappel : Le groupe des nombres réels contient les nombres rationnels et les nombres irrationnel. Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent se mettre sous la forme d'un quotient de deux entiers, par exemple p:q fraction irréductible.

Question préliminaire : Que peut-on dire du PGCD(p;q), si p:q est irréductble ?

Nous allons démontrer cela par l'absurde

1.Rappeler le principe d'une démonstration par l'absurde.

2.Puisque nous souhaitons démontrer que V2 est irrationnelpar l'absurde, supposons que V2 est rationnel.

Alors V2 = p:q, Que vaut le PGCD(p;q) ?


3. Mettre l'égalité suivante V2 = p:q au carré.

4. Utiliser les produits en croix pour ne plus avoir de fraction dans l'égalité de la question 3.

5. Rappeler la définition d'un diviseur d'un nombre. Que peut-on dire alors du chiffre 2 ?

6. Si le carré de mon nombre est pair, que puis-je dire de mon nombre ? (Pair ? ou Impair ?

7. Alors quel autre nombre est aussi divisible par 2 ? Comment peut-on alors écrire ce nombre ? (Utiliser la définition du diviseur).

8. Calculer p au carré à partir de l'écriture obtenue ci-dessus.

9. Que vaut alors 2q au carré ? Et q au carré ? On a alors que 2 divise q au carré, grâce à la question 6, on peut aussi dire que 2 divise q.

10. Noys venons de trouver un nombre qui divise à la fois p et q, lequel ?
Où est la contadiction de la démonstration ? Que peut-on en conclure ?