Etude de la continuitée partie entiére

Bonjour, j'ai un DM et je voudrais savoir si ma réponse est juste.Voici l'énoncé : Soit la fonction f(x)=(x-E(x))(x-E(x)-1). Prouver que f est continue sur R
J'ai décomposer f en g(x)=x-E(x) et h(x)= x-E(x)-1

Soit X0 appartient a Z ;
g(x0)= x-E(x0)= x-x0
g(x)= x-E(x0)= x-(x0-1) quand x tend vers x0-
g(x)= x-E(x0)= x-x0 -------------------x0+
F est discontinue en tout point de Z


Soit X0 n'appartient pas à Z ;
g(x0)= x-E(x0) = x-x0
g(x)= x-E(x0) = x-x0 quand x tend vers x0-
g(x)= x-E(x0) = x-x0 ------------------x0+
F est donc continue en tout point de R /Z



Soit h(x)= x-E(x)-1 donc h(x)= g(x)-1 de la forme h(x)= X-1 Or la fonction est continue en x0


Or, pour une fonction g continue en x0 et une fonction h continue en h(x0),la composée hog est continue en x0
donc pour x0 n'appartient pas a Z la fonction est continue et pour x0 appartient a Z la fct n'est pas continue.

Le produit des fonctions continues en x0 sont des fonctions continues en x0 .Donc f est continue sur R/Z

xo est un x quelconque contenu dans R

Etudier la continuité en f(xo) , ce n'est pas justement étudier lorsque x tend vers f(xo) en étant plus petit (xo-),puis lorsque x tend vers xo+?

Il me semble que :
- l'étude pour x0 non entier est rapide, car toutes les fonctions (en particulier la partie entière) sont continues en dehors de Z : on les ajoute, les soustrait, les multiplie. Tout ça reste continu.
- l'étude pour x0 entier consiste à calculer f(x0) puis à vérifier que lim f(x) quand x tend vers x0 (par valeurs supérieures puis inférieures) est bien f(x0)

Je ne pense pas. La fonction nulle fois la fonction entière, c'est continu.
On peut même imaginer un produit de deux fonctions discontinues qui soit continu.