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Dm spé mat pour mercredi

Forum Etudes / Travail : Dm spé mat pour mercredi

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lilly944   28-09-2009 à 21:33:38

g un dm a faire pour mercredi et je bloque completement sur la 1er queston (jss mal baré =/) Alor laquestion est: le but est de montré que pour tout entier n>0 , 3^2n-2^n est i miltiple de 7 méthode 1: démontré par récurrence méthode 2 :redémontrer ce résultat grace aux congruences

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pascal16   28-09-2009 à 22:31:06
- 0 +

3^2n-2^n
vrai pour n=1

3^2(n+1)-2^(n+1)
=3^2n * 9 - 2^n * 2
=3^2n * 9 - 2^n * 9 + 2^n * 7
= 9* (3^2n-2^n) + 7 * 2^n
= 9 fois un multiple de 7 plus un multiple de 7, est un multiple de 7

[] = classe de
[3^2n-2^n]
= bonne question

si on copie un peu :
[3^2n-2^n]
= [ 9^n-2^n]
= développer le ^n en l'écrivant sous la forme d'une somme
= regrouper les termes 2 à 2 dans l'ordre
= remarquer que chaque terme est sous la forme (9-2)*qq chose
= écrire que c'est la somme de termes de classe 7
= classe 7


Message édité par pascal16 le 28-09-2009 à 22:39:52
Répondre à pascal16
pascal16   29-09-2009 à 10:59:52
- 0 +

pour n>1
[3^2n-2^n]
= [ 9^n-2^n]
=[ (7+2)^n-2^n]
= [ somme(i=0 à n) ai 7^i * 2^(n-i) - 2^n]
ai : coefficient du i ieme développé de (7+2)^n
on sort le terme 2^n de la somme
= [ somme(i=1 à n) ai 7^i * 2^(n-i) + a0 7^0 * 2^n - 2^n]
or a0 et an vallent 1 et 7^0 = 1
= [ somme(i=1 à n) ai 7^i * 2^(n-i) + 2^n - 2^n]
= [ somme(i=1 à n) ai 7^i * 2^(n-i)]
or 7^i, i non nul est multiple de 7, c'est une somme de multiples de 7

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abel_b   29-09-2009 à 19:54:59
- 0 +

Le plus simple est de remarquer que
3^(2n)-2^(n)=9^n-2^n=(9-2)*somme(9^k*2^(n-k))=7*(un entier) donc c'est un multiple de 7

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