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Lecture graphique-dérivées
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjour,
Je cherche comment on lit graphiquement la dérivée.
J'ai une représentation graphiquement et je dois résoudre graphiquement f'(x)=0.
Et je sais pas comment on fait, je sais faire avec f(x) mais pas f'(x).
Si quelqu'un pourrait m'expliquer, ca serait gentil, merci.
Je cherche comment on lit graphiquement la dérivée.
J'ai une représentation graphiquement et je dois résoudre graphiquement f'(x)=0.
Et je sais pas comment on fait, je sais faire avec f(x) mais pas f'(x).
Si quelqu'un pourrait m'expliquer, ca serait gentil, merci.
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Pour reprendre ce qui a été dit d'une autre manière :
La fonction f est croissante sur un intervalle ssi sa dérivée f' est positive sur cet intervalle.
La fonction f est décroissante sur un intervalle ssi sa dérivée f' est négative sur cet intervalle.
La fonction f est constante sur un intervalle ssi sa dérivée f' est nulle sur cet intervalle.
Pour que les choses soient claires :
"f croissante" ça veut dire que sa courbe monte (pour tout x,y , x<y => f(x)<f(y)).
"f positive" ça veut dire que sa courbe est au dessus de l'axe des abscisses (pour tout x, f(x)>0).
Résoudre graphiquement f'(x)=0, c'est chercher les abscisses des points de f' qui ont pour ordonnée 0. Plus simplement, c'est chercher à quels points la courbe de f' coupe l'axe des abscisses.
A quoi ça sert de chercher ça ?
C'est très simple : quand f' coupe l'axe des abscisses, ça signifie qu'elle change de signe. Si elle était négative elle passe positive, et vice-versa. Or si f' change de signe, alors f atteint un extremum local à ce point. (soit un minimum, soit un maximum).
Etudier le signe de la dérivée permet de connaître le comportement de la fonction. Pour étudier le signe de la dérivée, on cherche à savoir à quels points son signe change.
La fonction f est croissante sur un intervalle ssi sa dérivée f' est positive sur cet intervalle.
La fonction f est décroissante sur un intervalle ssi sa dérivée f' est négative sur cet intervalle.
La fonction f est constante sur un intervalle ssi sa dérivée f' est nulle sur cet intervalle.
Pour que les choses soient claires :
"f croissante" ça veut dire que sa courbe monte (pour tout x,y , x<y => f(x)<f(y)).
"f positive" ça veut dire que sa courbe est au dessus de l'axe des abscisses (pour tout x, f(x)>0).
Résoudre graphiquement f'(x)=0, c'est chercher les abscisses des points de f' qui ont pour ordonnée 0. Plus simplement, c'est chercher à quels points la courbe de f' coupe l'axe des abscisses.
A quoi ça sert de chercher ça ?
C'est très simple : quand f' coupe l'axe des abscisses, ça signifie qu'elle change de signe. Si elle était négative elle passe positive, et vice-versa. Or si f' change de signe, alors f atteint un extremum local à ce point. (soit un minimum, soit un maximum).
Etudier le signe de la dérivée permet de connaître le comportement de la fonction. Pour étudier le signe de la dérivée, on cherche à savoir à quels points son signe change.
Tu as quelle courbe ? La courbe de f ou la courbe de f' ?
Si tu as la courbe de f :
On cherche les points tels que sa dérivé s'annule. La dérivée est nulle si la fonction est constante (c'est à dire ni croissante ni décroissante). Donc tu vois ces points en regardant où se trouvent les extremums de f. Il te suffit de prendre les x de ces points.
Si tu as la courbe de f' :
On cherche les points tels que f'(x) = 0. Donc il suffit de regarder quand la courbe coupe l'axe des abscisses. Tu prends les x de ces points.
Si tu as la courbe de f :
On cherche les points tels que sa dérivé s'annule. La dérivée est nulle si la fonction est constante (c'est à dire ni croissante ni décroissante). Donc tu vois ces points en regardant où se trouvent les extremums de f. Il te suffit de prendre les x de ces points.
Si tu as la courbe de f' :
On cherche les points tels que f'(x) = 0. Donc il suffit de regarder quand la courbe coupe l'axe des abscisses. Tu prends les x de ces points.
C'est la courbe de f que j'ai.
En fait je prend l'intervalle( c'est ça les extremums dont tu parles) pour f'(x)=0, c'est ca?
Merci pour ton aide encore une fois.
Aussi j'ai un problème pour un de mes autre exo, ça concerne encore une fois la dérivation.^^
L'énoncé est Etudier les variations de la fonction f définie sur E et dresser son tableau de variation.
f(x)=(3xcarré)/ (xcarré +2)
Ce qui me donne avec la formule, f'(x)=12x/(xcarré+2) au carré
Mais ma question c est est'ce qu'il a une valeur interdite.
12x >0
x>0
Et comment fait -on pr trouver la borne avec (xcarré+2)au carré?
Merci
En fait je prend l'intervalle( c'est ça les extremums dont tu parles) pour f'(x)=0, c'est ca?
Merci pour ton aide encore une fois.
Aussi j'ai un problème pour un de mes autre exo, ça concerne encore une fois la dérivation.^^
L'énoncé est Etudier les variations de la fonction f définie sur E et dresser son tableau de variation.
f(x)=(3xcarré)/ (xcarré +2)
Ce qui me donne avec la formule, f'(x)=12x/(xcarré+2) au carré
Mais ma question c est est'ce qu'il a une valeur interdite.
12x >0
x>0
Et comment fait -on pr trouver la borne avec (xcarré+2)au carré?
Merci
Un extremum c'est un sommet.. Une sorte de bosse.. L'endroit où juste avant la fonction était croissante, et juste après elle est décroissante (ou l'inverse).
Tu repères les maximums et les minimums, et tu prends leurs abscisses.
Pour ton deuxième exercice :
f(x) = 3x2/(x2+2)
f = u/v
f' = (u'.v - u.v') / v²
(6x(x2+2) - 3x2(2x)) / (x2+2)2
= (6x3 + 12x - 6x3) / (x2+2)2
= 12x / (x2+2)2
=> Ta dérivée est correcte.
Pour trouver les valeurs interdites, il suffit de regarder pour quelles valeurs de x le dénominateur s'annule. Par exemple, pour f il faut regarder quand x2+2 s'annule. On résout donc l'équation :
x2+2 = 0
x2 = -2
Impossible car x2 > 0
Donc le dénominateur ne s'annule jamais.
Idem pour le dénominateur de f' par exemple.
Ensuite il te reste à étudier les variations de f. Tu te sers de la dérivée comme d'un outils : en étudiant l'évolution du signe de la dérivée en fonction des valeurs de x, tu vas déduire les variations de f.
Ta dérivée est composée de 3 "facteurs" : 12x, (x2+2), (x2+2). (Bon en fait il n'y en a que deux différent, mais en général il peut y en avoir plus).
Dans ton tableau de variations tu mets ces deux termes, et tu étudies leur signe sur IR. Pour x2+2, on a vu que c'était toujours positif, donc tu mets directement des + de partout. Donc ce n'est pas x2+2 qui fera changer le signe de f' puisqu'il reste toujours positif. Il reste à étudier le signe de 12x. Rien de plus simple, c'est une fonction affine toute bête, qui s'annule une seule fois.
Une fois que tu as tous les signes des termes de ta dérivée, tu les "sommes", en utilisant les règles habituelles :
+ et + ça fait +
+ et - ça fait -
- et - ça fait +
Cette "somme" te donne le signe global de f' sur IR. Avec ces signes, tu déduis les variation de f.
On peur remarquer que f' ne s'annule qu'une seule fois, et donc que f a un seul extremum.
Tu repères les maximums et les minimums, et tu prends leurs abscisses.
Pour ton deuxième exercice :
f(x) = 3x2/(x2+2)
f = u/v
f' = (u'.v - u.v') / v²
(6x(x2+2) - 3x2(2x)) / (x2+2)2
= (6x3 + 12x - 6x3) / (x2+2)2
= 12x / (x2+2)2
=> Ta dérivée est correcte.
Pour trouver les valeurs interdites, il suffit de regarder pour quelles valeurs de x le dénominateur s'annule. Par exemple, pour f il faut regarder quand x2+2 s'annule. On résout donc l'équation :
x2+2 = 0
x2 = -2
Impossible car x2 > 0
Donc le dénominateur ne s'annule jamais.
Idem pour le dénominateur de f' par exemple.
Ensuite il te reste à étudier les variations de f. Tu te sers de la dérivée comme d'un outils : en étudiant l'évolution du signe de la dérivée en fonction des valeurs de x, tu vas déduire les variations de f.
Ta dérivée est composée de 3 "facteurs" : 12x, (x2+2), (x2+2). (Bon en fait il n'y en a que deux différent, mais en général il peut y en avoir plus).
Dans ton tableau de variations tu mets ces deux termes, et tu étudies leur signe sur IR. Pour x2+2, on a vu que c'était toujours positif, donc tu mets directement des + de partout. Donc ce n'est pas x2+2 qui fera changer le signe de f' puisqu'il reste toujours positif. Il reste à étudier le signe de 12x. Rien de plus simple, c'est une fonction affine toute bête, qui s'annule une seule fois.
Une fois que tu as tous les signes des termes de ta dérivée, tu les "sommes", en utilisant les règles habituelles :
+ et + ça fait +
+ et - ça fait -
- et - ça fait +
Cette "somme" te donne le signe global de f' sur IR. Avec ces signes, tu déduis les variation de f.
On peur remarquer que f' ne s'annule qu'une seule fois, et donc que f a un seul extremum.
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