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Probème de math sur fonction logarithme ( Terminale ES)

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour à tous,
Je suis en terminale ES et j'ai un problème de math que je n'arrive pas à résoudre ( J'ai été absent quand le chapitre a été traité donc je suis un peu perdu). Merci d'avance à tous ce qui pourront m'aider à avancer sur ce problème. L'énoncé est le suivant :

1) Soit la fonction g définie sur ]0, + l'infini [ par g(x)= ln (x+1) - ln (x)
a) Montrer que pour x>0, g(x)= ln ( 1 + 1/x)
b) Etudier le signe de g(x)
c) Determiner les limites de g en 0 et + l'infini.

2) Soit la fonction f définie sur ]0, + l'infini [ par f(x) = x+2+ln(x+1)- ln(x) et Cf sa courbe représentative dans un repère (o, i j ). On ne demande pas de tracer Cf.
En utilisant les réponses de la question1), justifier les affirmations suivantes:
a) L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe Cf.
b) La droite D d'équation x+2 est asymptote oblique à la courbe Cf en + l'infini.
c) La courbe Cf est au dessus de la droite D.

3)On dit que la fonction F est une primitive de la fonction f si F'=f
a) Démontrer que G(x)=(x+1)ln(x+1)-xln(x) est une primitive de g sur l'intervalle ] 0, + l'infini [.
b)Démontrer que F(x) = x^2/2 ( c'est x au carré divisé par 2) + 2x +(x+1)ln(x+1)-xln(x) est une primitive de f(x)= x + 2 + g(x).
c) On admet que l'aire de la portion du plan comprise entre la courbe Cf, l'axe des ordonnées (Ox) et les droites d'équation x=1 et x=3 est donné en unité d'aire par A= F(3) - F(1)
Montrer que A= 8 + 6ln(2) - 3ln(3)


Merci à tous ce qui pourront m'aider ne serait-ce que pour une question.
Cordialement.

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TheSentry a dit :
Tu n'as pas rattrapé tes cours ?
et poster tout son devoirs c'est moyen ... je me serai fais une joie de répondre mais je l'fais pas : )

J'ai rattrapé les cours et je ne demande pas de faire tout mon devoir. J'ai fais les autres exercices. Et pour celui la je suis allé jusqu'à la question 3. C'est après que j'ai du mal mais je demande de l'aide sur l'exercice entier pour pouvoir comparer.
Si vous voulez je peux mettre ce que j'ai trouvé et vous me dites si c'est juste ou pas ?
cordialement

G(x)=(x+1)ln(x+1)-xln(x)
dérivée de a*b = a'b + ab'
G(x) est bien définie sur R+

G' = 1*ln(x+1) + (x+1) * (1/(x+1)) - 1 * ln(x) - x*(1/x)
G' = ln(x+1) +1 - ln(x) -1
G' = ln[(x+1) / x]
G' = ln (1 +1/x)
= g(x)


F(x) = x^2/2 ( c'est x au carré divisé par 2) + 2x +(x+1)ln(x+1)-xln(x)
est définie sur R+
F(x) = x^2/2 ( c'est x au carré divisé par 2) + 2x + G(x)
F'= x + 2 + ln(x+1) -ln (x)

3c : à toi de jouer

128195,6,856149 a dit :
G(x)=(x+1)ln(x+1)-xln(x)
dérivée de a*b = a'b + ab'
G(x) est bien définie sur R+

G' = 1*ln(x+1) + (x+1) * (1/(x+1)) - 1 * ln(x) - x*(1/x)
G' = ln(x+1) +1 - ln(x) -1
G' = ln[(x+1) / x]
G' = ln (1 +1/x)
= g(x)


F(x) = x^2/2 ( c'est x au carré divisé par 2) + 2x +(x+1)ln(x+1)-xln(x)
est définie sur R+
F(x) = x^2/2 ( c'est x au carré divisé par 2) + 2x + G(x)
F'= x + 2 + ln(x+1) -ln (x)

3c : à toi de jouer[/quotems
Merci
Est-ce que vous pourriez me dire si ce que j'ai fais avant est juste ?
Dans ce cas la je mettrais mes réponses
merci encore
cordialement

Voila ce que j'ai trouvé merci de me dire si c'est juste ou pas.

1.a) On sait que ln(a) - ln(b) = ln (a/b)
g(x)= ln(x+1)-ln (x)
= ln (x/x+1/x)
=ln (1 + 1/x)

b) Posons pour tout réel x, u(x)= 1 + 1/x. On a alors u'(x)= -1/x^2 ( c'est x au carré) et g= ln u
La dérivée de g est alors g'(x)= u'(x)/u(x) donc pour tout réel x, g'(x)= (-1/x^2)/(1 + 1/x)
Sachant que la fonction g est définie sur ]0;+ l'infini [, on peut donc dire :
-que 1 + 1/x est stictement positif sur ]0; + l'infini[
-que -1/x^2 est strictement négatif sur ]0; + l'infini [
Donc le signe de g(x) est négatif sur ]0; + l'infini [

c) - On cherche la limite de g(x) quand x tend vers o
lim 1 + 1/x = " 1 + 1/0+ = + l'infini
x tend vers 0+
Donc lim g(x) quand x tend vers 0 + = + l'infini

- on cherche la limite de g(x) quand x tend vers + l'infini
lim ln ( x/x +1/x) = ?
x tend vers + l'infini

lim x/x + 1/x = lim x/x = 1
x tend vers + l'infini

lim ln X = ln 1 = 0
X tend vers 1

Donc lim g(x) = 0
x tend vers + l'infini


2.a) On sait que lim g(x) = + l'infini
x tend vers 0 +
Donc la droite d'équation x=0 est une asymptote verticale a la courbe de f .

b) On sait que lim g(x) = 0
x tend vers = l'infini
La droite d'équation y = x+2 est une asymptote oblique à Cf en + l'infini
En effet, lim [ f(x) - (x+2) ] = lim ln ( 1 + 1/x) = 0
x tend vers + l'infini x tend vers + l'infini

c) Je n'y arrive pas .

3) C'est bon pour la partie 3 .









g(x) ne peut être négative sur ]0;+inf[ et tendre vers +l'infinie, la question porte sur g ou g' ?

1) Soit la fonction g définie sur ]0, + l'infini [ par g(x)= ln (x+1) - ln (x)
a) Montrer que pour x>0, g(x)= ln ( 1 + 1/x)
b) Etudier le signe de g(x)
c) Determiner les limites de g en 0 et + l'infini.

a) : comme on a dit, pour a et b réels trictement positifs ln(a) - ln(b) = ln (a/b)
donc g(x) = ln ( 1 + 1/x)

b: ln croissante sur R+
ln(1) = 0
1/x >0 pour x>0
ln (1+1/x) > ln (1)
d'où g(x) > 0

g(x)= ln (x+1) - ln (x)
quand x tend vers 0+
ln(x+1) tend vers ln(1) = 0
ln (x) tend vers - l'infinie
g tend vers + l'infinie

g(x) = ln ( 1 + 1/x)
en +l'infie, elle tend vers ln(1) =0

Merci encore Pascal pour ta réponse .
Cependant si j'ai bien compris vous trouvez que le signe de g(x) est positif et moi je trouve que le signe de g(x) est négatif. Or quand je trace la fonction sur la calculette la fonction est décroissante donc son signe est forcément négatif non?

Vraiment merci beaucoup pour votre aide.
Juste dernière question comment fait-on pour à la 2)c pour prouver que la courbe Cf est au dessus de la droite D ?

On sait que la courbe Cf est définie par f(x)= x+2+ln(x+1)-ln(x)
on sait que la droite D a pour équation y= x+2
Donc on a :

x+2 < x+2 +ln(x+1)-ln(x)
comme on sait que ln (x+1)-ln(x) est supérieur à 0 en sur R+ , on peut donc affirmer que la courbe Cf est au dessus de la droite D.

Le raisonnement est-il juste ?
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