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[Résolu] Demontrer la form de distance d'un point a une droite

Forum Etudes / Travail : [Résolu] Demontrer la form de distance d'un point a une droite

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p2p   19-01-2009 à 17:15:28

Bonjour,
Je ne trouve pas la demonstration de la formule de distance d'un point à une droite donc :
P(xp,yp)
d:y=ax+b

abs(axp+byp+ c)
d(P,d)= ---------------------
sqrt(a²+b²)

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Meilleure réponse apportée par pascal16
Google est fort en math aussi :

http://homeomath.imingo.net/distance2.htm

je viens de me rendre compte que les notions de mesure et normes sont de notions de bases des espaces normés. Mais que la distance d'un point à une droite elle fait référence à la projection orthogonale ce qui n'est pas une notion de base.
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abel_b   19-01-2009 à 18:48:31

Déjà l'équation de la droite, c'est ax+by=c pour que ça soit cohérent. Ensuite, la démonstration est simple, fais un dessin et tu verras.
Note H le projeté orthogonal de P sur (d) et calcule le produit scalaire PH.(a,b) en fonction de xp,yp,c (les quantités xh,yh vont s'éliminer car axh+byh=c)...mais ce produit scalaire vaut aussi d(P,d)*||(a,b)|| et en égalant ces 2 quantité on obtient quoi ?

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pascal16   19-01-2009 à 20:29:15
Meilleure réponse

Google est fort en math aussi :

http://homeomath.imingo.net/distance2.htm

je viens de me rendre compte que les notions de mesure et normes sont de notions de bases des espaces normés. Mais que la distance d'un point à une droite elle fait référence à la projection orthogonale ce qui n'est pas une notion de base.

Répondre à pascal16
abel_b   19-01-2009 à 21:55:33

La distance d'un point à une droite, on peut le voir comme la distance entre 2 partie d'un espace métrique (inf d(P,x), x€(d)), donc c'est indépendant de la notion de projection.

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p2p   20-01-2009 à 15:26:39

ok, merci pour vos réponses c résolut

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