Exercice de maths polynôme
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Bonjour pourriez vous m'aider pour cette exercice d'un DM de maths. J'ai un problème à partir de la question 3
Voila cet exercice:
On pose Q(X)=X²+1
Le but de cet exercice est de trouver l'ensemble E des polynomes P(X) de l'ensemble R tels que QoP=PoQ, c'est à dire P(X)²+1=P(X²+1)
On rappelle que seul le polynôme nul a une infinité de racines.
1) Soit P(X) un polynôme de E. Démontrer que P(X)=P(-X) ou que P(-X)=-P(X)
2) Soit P(X) un polynôme de E tel que P(-X)=-P(X)
On définit la suite (Un) d'entiers par U(0)=0 et pour tout n de N, U(n+1)=Un²+1
a) Démontrer que pour tout n de N , P(Un)=Un
b) Prouver que l'ensemble {Un/ n appartient à N}
c) En déduire que P(X)=X
3) Soit P(X) un polynôme de R tel que P(-X)=P(X)
a) Prouver qu'il existe un polynôme R(X) tel que P(X)=R(X²)
b) En déduire qu'il existe un polynôme S(X) de R tel que P(X)=S(X+1)=SoQ(X)
c) Démontrer que si A(X) et B(X) sont deux polynômes tels que AoQ=BoQ, alors A(X)=B(X)
d) On suppose que P(X) appartient à E. Montrer alors que S(X) est un polynôme de E.
4) Soit P(X) un polynôme de E tel que P(-X)=P(X). D'après précédemment, il existe un polynome S1(X) de E tel que P=S1oQ
a) Démontrer que S1(X)=X ou qu'il existe un polynôme S2(X) de E tel que S1=S2oQ
Tant que c'est possible, c'est à dire tant que Sk(X)différent de X, on construit le polynôme Sk+1(X) de E tel que Sk=Sk+1oQ
b) Démontrer qu'il existe un entier n de N* tel que Sn(X)=X
c) Démontrer qu'alors P=QoQoQo...oQ. Quel est le degrés de P(X)?
5) a) Déterminer E
b) Calculer le polynôme de E de degrés 16.
Si vous pouvez m'aider pour les questions à partir de la question 3 car je suis vraiment bloqué à partir de la 3, je ne sais comment on montre que les polynôme R et S existent, je ne sais pas d'où partir.
Toutes les aides seront les bienvenues. Merci d'avance à ceux qui m'aideront.
1) P(X)²+1=P(X²+1)
<-> P(X) = racine (P(X²+1)-1) ou - racine (P(X²+1)-1)
or X²+1 = (-X²)+1
P(-X) = racine (P(X²+1)-1) ou - racine (P(X²+1)-1)
P(-X) = + ou - P(X)
continue un peu et dis où tu coinces
En fait j'ai réussis jusqu'à la question 3 c'est la que je bloque, donc si vous pouvez me mettre sur une piste pour les questions à partir de la 3.
Merci
3-a- Écris P(X)=an*X^n+...+a0 et montre que les ai tel que i est impair sont nuls en calculant P(X)-P(-X)
3b- Montre qu'il existe S tel que R(X)=S(X+1) (cette propriété est toujours vraie, car ça revient à faire un changement de base dans IRn[X])...conclusion ? (càd qu'en est t-il pour P(X)=R(X²))
3c- Il te suffit de montrer que l'application de IR[X] dans lui même qui associe à P, le polynôme PoQ est injective (montre d'abord qu'elle est linéaire et détermine son noyau)
3d Calcule QoP en fonction de S et montre que QoS=P (sachant qu'on a déjà montré que SoQ=P) conclusion ?
4a- On sait que S1 est dans E, donc soit S1(-X)=-S1(X) et donc....soit S1(-X)=S1(X) et donc ..... (tout simplement)
4b- La suite des degrés des Sk est strictement décroissante et positive, ne prenant qu'un nombre fini de valeurs...donc ?
4c- ...pas trop dur je pense
5a- 5b- ....application....
Message édité par abel_b le 29-12-2008 à 11:51:26
Répondre à abel_b
Tout d'abord merci pour toutes vos explications.
Mais si vous pouviez me donner quelques explications supplémentaires ce serait sympa.
Pour la 3a je n'ai compris du tout comment on montre que R(X) existe. Car oui j'ai compris vos explication mais après je ne vois pas comment conclure sur l'existence de R.
Pour la 3b je n'ai pas compris vos explications.
Pour la 3c j'ai compris pourquoi il fallait montrer qu'il est injectif mais quand vous dites "montre d'abord qu'elle est linéaire et détermine son noyau" je ne vois pas comment faire et je ne vois a quoi cela sert pour conclure.
La 3d si vous pourriez me la réexpliquer.
La 4c elle est peut être pas trop dur mais la je ne voit pas.
En fait si vous pouviez me donner des explications pour chaque question cela m'arrangerais bien, j'aimerais bien comprendre.
Je suis désolé de vous demander tant de choses mais je voudrait bien comprendre.
Je vous remercie d'avance .
Ca serait bon que tu précises ton niveau
3a- P(X)-P(-X) doit être nul. Donc si on pose P(X)=an*X^n+...+a0 alors :
P(X)-P(-X) = (1-(-1)^n)X^n + (1-(-1)^(n-1))X^(n-1) +...+ (a0-a0)
En bref, tous les termes devant une puissance paire sont "tués" et ceux devant une puissance impaire sont non nuls dès que ai<>0...ce qui nous dit que tous les ai tels que i est impair doivent être nuls
3b- R(X)=S(X+1) est toujours vrai, car il suffit de considérer l'automorphisme de IR^n[X] qui envoie S sur SoF (où F(X)=X+1)
- Montre que cette application est bien définie
- Montre qu'elle est linéaire (trivial)
- Montre qu'elle est bijective (injective (noyau={0}) + dimension)...en réalité, seule la surjectivité nous intéresse
En bref, pour chaque polynôme R de IR^n[X], il existe un polynôme S tel que R=SoF=S(X+1)...cette propriété est toujours vraie dés qu'on à affaire à un polynöme.
Maintenant, comme P(X)=R(X^2) alors P(X)=S(X²+1)=SoQ
3c- Théorème (surement dans ton cours) : Toute application linéaire est injective ssi son noyau est réduit à {0}...donc si on montre que l'application est linéaire et que son noyau est nul, on a gagné.
3d- On veut montrer que SoQ=QoS
On sait que P=SoQ donc QoP=QoSoQ=PoQ et donc d'après 3c : QoS=P=SoQ et donc S est dans E.
4c- P=S1oQ=S2oQoQ=S3oQoQoQ=S4oQoQoQoQ=...=SnoQoQoQoQo...oQ et on sait qu'à un moment (un certain n) Sn=X donc :
P=XoQoQoQo...oQ=QoQoQo...oQ (tout simplement)
Répondre à abel_b
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