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exo proba 1ere S

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

bonjour,
je n'ai rien compris à cet exo sur les proba. pouvez vous m'aider svp
voici l'exo :

Une urne contient dix-neuf jetons numérotés de 1 à 19. on tire successivement et sans remise trois jetons. on désigne par k un entier quelconque tel que 3 <ou= k < 17
Ak et Bk sont les évènements tels que :
Ak : "k est le plus petit numéro tiré"
Bk : "k est le plus grand numéro tiré"
Pour quelle(s) valeur(s) de k, p(Ak) = p(Bk) ?

merci d'avance

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Bonjour,
Effectivement, celui-là est un peu tordu... Il faut arriver à comprendre la correspondance entre les termes mathématiques et la vraie vie.
Essaie de décomposer le problème pour simplifier :
- D'abord, calculer le nombre de tirages possibles. Jusque là, pas de souci, c'est une combinaison simple.
- Calculer le nombre de tirages où k est le plus petit numéro tiré. Un des numéros est imposé : k. Pour les deux autres, c'est une combinaison parmi les jetons plus grands que k (soit 19-k jetons). Le résultat sera exprimé en fonction de k
=> ce qui te donne Ak (toujours en fonction de k)
- De la même façon, calculer le nombre de tirages où k est le plus grand. Là encore, tu as forcément le jeton k, puis une combinaison parmi les jetons plus petits (soit k-1 jetons ; par exemple si k vaut 10, tu as le choix parmi les 9 jetons en dessous).
=> ce qui te donne Bk
Essaie de le faire, et dis-nous ce que tu trouves si tu veux qu'on vérifie.

oui mais c'est là où je bloque toujours
c'est quand il faut calculer les combinaisons possibles, parce que moi généralement je fais avec un arbre mais là c'est impossible de faire un arbre il y a trop de jetons
comment faire? vous avez une technique?

attention, ce calcul tient compte de l'ordre

pour le premier 19
le deuxieme 18
le troisieme 17
donc j'ai 19*18*17=5814 possibilités

ce syteme génère par exemple la combinaison
4 5 6
mais aussi
4 6 5 et 5 4 6 et 5 6 4 et 6 4 5 et 6 5 4
or pour ton exo, ces 6 combinaisons son en fait la même chose.

il faut divisé par le nombre d'arangement : 6 (= factoriel 3)

soit 969 cas ( = C 19,3 )

ensuite si k ne vaut jamais 1,2,18 ou 19, c'est pour qu'il y ait toujours au moins 2 chiffres plus petits ou plus grand que lui. ça permet d'éviter les cas particuliers.

Salut ! je synthétise un peu l'exo

Si tu tires le nombre k parmi les 3 jetons :

- Si k doit être le + grand, il te reste C(k-1,2), soit en tout 3*C(k-1,2) tirages tels que k est le plus grand (3 façons de choisir k).

- si k doit ê le + petit, il te reste C(19-k,2) tirages, soit en tout 3*C(19-k,2) tirages

Il ne te reste qu'à égaler ces 2 quantités et à trouver le k qui convient ! (il suffit de raisonner en dénombrement car le nombre de tirage est le même pour Ak et Bk)

(Désolé pour le retard, je m'étais absenté)
Le "C" c'est "combinaison". Si vous n'avez pas vu ça en cours, je ne comprends pas comment on veut vous faire résoudre l'exercice !
Tes tirages correspondent à des combinaisons, car l'ordre n'a pas d'importance (comme le loto, pas le tiercé).
Du coup, tu as moins de tirages possibles. Par exemple, si tu tires les jetons 1, 2 et 3, c'est pareil que si tu tires les jetons 3, 1 et 2.
Les chiffres qu'on note après le "C" (normalement, on en met un en haut et un en bas) correspondent au nombre d'éléments à choisir et au nombre d'éléments au total.
Pour ce que j'ai appelé "le nombre de tirages possibles", c'est-à-dire toutes les combinaisons que tu peux obtenir en tirant tes jetons, c'est la combinaison de 3 éléments (les 3 jetons que tu tires) parmi 19 (tu as 19 jetons en tout).
On peut le noter C(19;3).
C(19;3)=(19*18*17)/(1*2*3)
(ça aussi, j'ose espérer que vous l'avez quelque part dans votre cours...)
donc, comme l'a dit pascal, 969 possibilités (et pas 5814).

Pour les cas où k est le plus petit, les tirages "valables" comportent forcément k. Il te reste juste à voir combien d'autres valeurs tu peux avoir. C'est une combinaison de 2 éléments (les 2 autres jetons en plus du jeton k) parmi (19-k) (les jetons qui sont plus petits que k).
C(19-k;2)=(19-k)(18-k)/(1*2)
Par exemple, si tu as k=15, tu as 4*3/2=6 tirages possibles.
Si tu essaies de détailler ça à la main, tu vois que ces tirages sont :
15,16,17 ; 15,16,18 ; 15,16,19 ; 15,17,18 ; 15,17,19 ; 15,18,19
Pas d'autres possibilités, et on retrouve bien 6 tirages.
Remarque : dans ton exo, tu es quand même obligé de garder k, parce qu'on ne sait pas quelle valeur il va prendre (ou bien alors il faudrait faire tous les cas un par un, et on ne serait pas sortis...).

Donc la probabilité que k soit le plus petit est :
nombre de tirages où k est le plus petit / nombre de tirages total
=[(19-k)(18-k)/2]/969
=(19-k)(18-k)/1938

Est-ce que tu comprends ?

oui je comprends à peu près
j'ai beaucoup de mal avec les proba
moi j'avais trouvé une autre manière de trouver le k tel que p(Ak)=p(Bk)
j'ai un peu contourné le sujet mais bon ^^
en fait comme Ak c'est l'évènement où k est le plus petit et Bk le plus grand, pour que les probabilités de chacun soient égales, il faut que k soit tel qu'il y aie autant de jetons supérieurs qu'inférieurs. donc j'ai cherché la médiane de la série des 19jetons. ensuite pour utiliser les proba (qui est quand meme le sujet), pour prouver mon raisonnement et pour le vérifier, j'ai calculé les probabilités de chaque évènement avec k=10 (car à la médiane je trouvais donc 10)
donc voilà seulement on a corrigé cet exo aujourd'hui et le prof m'a dit que le raisonnement était faut car il n'y a aucun lien entre l'univers (les 19jetons) et les évènements Ak et Bk. ces derniers étant en lien avec l'oméga qui est ici 19*18*17
et non on a jamais vu "C", c'est sûr!!
désolé d'avoir emprunté un "raccourci" pour résoudre le probleme, mais je n'y arrivais vraiment pas meme avec toutes vos explications, je ne comprends vraiment rien aux proba :'( 
mais je commence un peu à comprendre avec tout ça
au fait si quelqu'un peut m'expliquer (avec exemple) ce qu'est la loi de probabilité (je sais que c'est la base mais déjà ça je n'arrive pas à comprendre)
merci d'avance
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