Problème sur optimisation (math)
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjours à tous, voila notre prof de math a corrigé deux problèmes. Et malheureusement avec la correction je ne comprends pas son cheminement.
Donc je m’adresse à vous pour m’aider à comprendre.Merci
Voici l’énoncé du 1er problème :
Le cout de production de x tonnes d’un produit (par semaine vaut) : 10x²+5000x+25000 euros.
Calculer le prix de vente à la tonne le plus bas permettant de couvrir les frais. Si le prix à 8000 euros la tonne, quel niveau de production assure le revenu net (recette moins cout) maximum, dans l’hypothèse ou toute la production sera écoulée ?
Correction :
Par définition le prix unitaire qui permet de couvrir les frais est P(x)= C(x) (ou P(x)= prix unitaire correspond à un niveau de production x et C(x)= cout unitaire correspondant à un niveau de production x) c’est a ce niveau que j’ai du mal à comprendre.
Or C(x)= Ct(x) / x
On a donc P(x)= 10x+50000+ 25000/x
Ensuite il va faire la dérivée de cette fonction et ensuite la dérivée seconde. A la fin x= 50 et p= 6000
-le revenu net correspondant à un niveau de production x est : R(x)= rt(x) - ct(x) (ou rt(x)= recette totale et ct(x) = cout total) et pourquoi ??
R(x)= 8000x – (10x²+5000x + 2500) Pourquoi rt(x)= 8000x ???
Voici l’énoncé du 2nd problème :
Et pour indication je ne comprends rien à la correction
Un fabriquant d’appareils produits x exemplaires par semaine à un cout total de 4x²+ 300x + 10000 euros. La demande hebdomadaire de cet appareil est x= 100- 2 (racine de(p)), p étant le prix unitaire en euros. Si le fabricant règle sa production sur la demande, quel niveau de production lui procurera le revenu net maximum ?
Correction : le revenu net correspondant à une production de x unités est : R(x)= rt(x)-ct(x)
= P.x – Ct (x)
Or x= 100- 2(racine de(p)) donc 2(racine de(p))= 100- x (x doit être compris entre 0 et 100) p= ((100-x)/2)² c’est la que je ne comprends pas
D’où R(x) : …. La suite j’ai compris
Donc je m’adresse à vous pour m’aider à comprendre.Merci
Voici l’énoncé du 1er problème :
Le cout de production de x tonnes d’un produit (par semaine vaut) : 10x²+5000x+25000 euros.
Calculer le prix de vente à la tonne le plus bas permettant de couvrir les frais. Si le prix à 8000 euros la tonne, quel niveau de production assure le revenu net (recette moins cout) maximum, dans l’hypothèse ou toute la production sera écoulée ?
Correction :
Par définition le prix unitaire qui permet de couvrir les frais est P(x)= C(x) (ou P(x)= prix unitaire correspond à un niveau de production x et C(x)= cout unitaire correspondant à un niveau de production x) c’est a ce niveau que j’ai du mal à comprendre.
Or C(x)= Ct(x) / x
On a donc P(x)= 10x+50000+ 25000/x
Ensuite il va faire la dérivée de cette fonction et ensuite la dérivée seconde. A la fin x= 50 et p= 6000
-le revenu net correspondant à un niveau de production x est : R(x)= rt(x) - ct(x) (ou rt(x)= recette totale et ct(x) = cout total) et pourquoi ??
R(x)= 8000x – (10x²+5000x + 2500) Pourquoi rt(x)= 8000x ???
Voici l’énoncé du 2nd problème :
Et pour indication je ne comprends rien à la correction
Un fabriquant d’appareils produits x exemplaires par semaine à un cout total de 4x²+ 300x + 10000 euros. La demande hebdomadaire de cet appareil est x= 100- 2 (racine de(p)), p étant le prix unitaire en euros. Si le fabricant règle sa production sur la demande, quel niveau de production lui procurera le revenu net maximum ?
Correction : le revenu net correspondant à une production de x unités est : R(x)= rt(x)-ct(x)
= P.x – Ct (x)
Or x= 100- 2(racine de(p)) donc 2(racine de(p))= 100- x (x doit être compris entre 0 et 100) p= ((100-x)/2)² c’est la que je ne comprends pas
D’où R(x) : …. La suite j’ai compris
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P(x)= prix unitaire correspond à un niveau de production x
C(x)= cout unitaire correspondant à un niveau de production x
P : c'est le prix de vente (de la tonne)
c : c'est le cont de production (de la tonne)
en générale, on vend plus chère que ça coute a produire, la différence, c'est le banéfice (on dira qu'il y a pas delta stocks et autres)
le prix de vente minimum c'est quand la vente couvre les frais de production sans dégager un seul bénéfice
soit P(x) = C(x) +0
Le cout de production de x tonnes d’un produit (par semaine vaut) : 10x²+5000x+25000 euros.
le cout de production d'une tonne est donc : (10x²+5000x+25000 ) / x euros.
ensuite, la dérivée, pas facile, c'est beau de dériver, mais on dérive d'habitude les fonctions par rapport à une inconnue qui est ce que l'on cherche, et c'est pas x que l'on cherche, mais le cout de vente à la tonne. Certe, vu que les deux sont liés par une constante (que l'on cherche), on a le droit de dire que c'est pareil de dériver par ax ou x tout court, mais ça manque d'explication
si on trace les deux courbes avec a le prix de vente à l'unité, on s'apperçoit que ce que l'on cerche c'est :
10x²+5000x+25000=ax (les deux droite se touchent en 1 point)
et c'est pas cette 10x²+5000x+25000 dont on cherche un minimum en x, mais 10x²+5000x+25000-ax
la dérivée en x de (10x²+5000x+25000-ax)=0 c'est un minima
(Ca parrait compliqué, mais quand on trace les courbes c'est limpide, en y, tu met le cout et prix en Euros en x, les tonnes produites par semaine).
C(x)= cout unitaire correspondant à un niveau de production x
P : c'est le prix de vente (de la tonne)
c : c'est le cont de production (de la tonne)
en générale, on vend plus chère que ça coute a produire, la différence, c'est le banéfice (on dira qu'il y a pas delta stocks et autres)
le prix de vente minimum c'est quand la vente couvre les frais de production sans dégager un seul bénéfice
soit P(x) = C(x) +0
Le cout de production de x tonnes d’un produit (par semaine vaut) : 10x²+5000x+25000 euros.
le cout de production d'une tonne est donc : (10x²+5000x+25000 ) / x euros.
ensuite, la dérivée, pas facile, c'est beau de dériver, mais on dérive d'habitude les fonctions par rapport à une inconnue qui est ce que l'on cherche, et c'est pas x que l'on cherche, mais le cout de vente à la tonne. Certe, vu que les deux sont liés par une constante (que l'on cherche), on a le droit de dire que c'est pareil de dériver par ax ou x tout court, mais ça manque d'explication
si on trace les deux courbes avec a le prix de vente à l'unité, on s'apperçoit que ce que l'on cerche c'est :
10x²+5000x+25000=ax (les deux droite se touchent en 1 point)
et c'est pas cette 10x²+5000x+25000 dont on cherche un minimum en x, mais 10x²+5000x+25000-ax
la dérivée en x de (10x²+5000x+25000-ax)=0 c'est un minima
(Ca parrait compliqué, mais quand on trace les courbes c'est limpide, en y, tu met le cout et prix en Euros en x, les tonnes produites par semaine).
Voila comment je comprends ton 1er problème :
Le cout de production dépend de x (nombre de tonnes produites) = 10x²+5000x+25000
Le prix de vente est de 8000€ pour une tonne donc, pour x tonnes = 8000x
_____________________________________________________________
Pour chercher la production minimum pour commencer à gagner de l'argent
![:hello:]( ":hello:")
méthode 1
Si tu vends au prix où tu fabrique ( 10x²+5000x+25000 = 8000x ) tu n'as aucun bénéfice !
Tu cherches donc à savoir quand ce cas catastrophique![:fou:]( ":fou:")
peut arriver :
tu résous 10x²+5000x+25000 = 8000x soit 10x²+5000x+25000 - 8000x = 0
soit 10x²- 3000x+25000 = 0 (soit discriminant pour valeur exacte![:love:]( ":love:")
soit graphique pour valeur approchée ![:sarcastic:]( ":sarcastic:")
)
![:hello:]( ":hello:")
méthode 2
On passe par le cout unitaire (sachant que l'unité dont on parle est la tonne).
On remplace 10x²+5000x+25000 par {10x²+5000x+25000} /x
soit 10x + 5000 + 25 000/x
Le cout de production unitaire dépend de x (nombre de tonnes produites) = 10x+5000+25000/x
Le prix de vente unitaire est = {8000x}/x soit 8000
il suffit alors de résoudre 10x+5000+25000/x = 8000 (![:kaola:]( ":kaola:")
cas catastrophique de tout à l'heure Prix = cout donc aucun bénéf)
soit 10x-3000+25000/x = 0 ce qui revient, en multipliant chaque termes par x, à 10x²- 3000x+25000 = 0 (voir plus haut)
______________________________________________________________
Pour le prix unitaire minimal
On a vu que le cout unitaire était {10x²- 3000x+25000}/x soit 10x- 3000+25000/x
Ceci peut être considéré comme l'expression algébrique d'une fonction. On cherche les extrema par l'annulation de la dérivée...
(10x- 3000+25000/x ) ' = 10 - 25 000/x² (ceci étant la dérivée)
on résoud 10 - 25 000/x² = 0 => 10 = 25000/x² => 10x² = 25000 => x² = 2 500 soit deux soutions mathématiques : x1= 50 et x2= -50
On élimine -50 qui n'est qu'une solution mathématique n'ayant aucune valeur dans la réalité du problème. Reste 50 !!!
Ce 50 est le nombre de tonnes pour que le coût unitaire soit le plus bas possible ...![:bounce:]( ":bounce:")
çà c'est intéressant pour toi car ton coût de fabrication est le plus bas possible !!!
![:sweat:]( ":sweat:")
Pourquoi utiliser la dérivée ???
bein, trace la courbe du prix unitaire avec un logiciel comme geogebra (gratuit) et tu verras que pour trouver ce prix minimum sur un graphique ...c'est illisible ! la courbe est trop plate autour de 50 !!! si tu ne sais pas que la solution est 50, il est impossible de la trouver par lecture graphique.
______________________________________________________________
Pour ton second problème, je comprends pas ! en plus x est un nombre décimal alors qu'il représente un nombre d'articles produits !!! ce problème remplace le caractère discret de la variable à un caractère continu ne signifiant rien !!!
C'est faire des math pour des math avec un habillage pseudo-concret !
Enfin !
apparemment, on te demande de retrouver P le prix de vente unitaire
tu veux "p=" tu isole racine(p) puis tu élèves au carré
x = 100 - 2. racine (p) soit racine(p) = 50 - x/2
on élève au carré les deux membres
p = (50 - x/2)² qui est le prix unitaire
Le cout unitaire est : 4x²+ 300x + 10000
Comme dans le problème précédent, on a le cas catastrophique pour prix = cout donc (50 - x/2)²= 4x²+ 300x + 10000
tu développes, tu réorganises le polynôme... puis discriminant pour valeur exacte.
2500 - 50x + x² /4 = 4x² + 300x + 1000
Ici encore, on peut utiliser la méthode graphique pour trouver une valeur approchée.
Le cout de production dépend de x (nombre de tonnes produites) = 10x²+5000x+25000
Le prix de vente est de 8000€ pour une tonne donc, pour x tonnes = 8000x
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Pour chercher la production minimum pour commencer à gagner de l'argent
méthode 1 Si tu vends au prix où tu fabrique ( 10x²+5000x+25000 = 8000x ) tu n'as aucun bénéfice !
Tu cherches donc à savoir quand ce cas catastrophique
peut arriver :tu résous 10x²+5000x+25000 = 8000x soit 10x²+5000x+25000 - 8000x = 0
soit 10x²- 3000x+25000 = 0 (soit discriminant pour valeur exacte
soit graphique pour valeur approchée 
) méthode 2On passe par le cout unitaire (sachant que l'unité dont on parle est la tonne).
On remplace 10x²+5000x+25000 par {10x²+5000x+25000} /x
soit 10x + 5000 + 25 000/x
Le cout de production unitaire dépend de x (nombre de tonnes produites) = 10x+5000+25000/x
Le prix de vente unitaire est = {8000x}/x soit 8000
il suffit alors de résoudre 10x+5000+25000/x = 8000 (
cas catastrophique de tout à l'heure Prix = cout donc aucun bénéf)soit 10x-3000+25000/x = 0 ce qui revient, en multipliant chaque termes par x, à 10x²- 3000x+25000 = 0 (voir plus haut)
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Pour le prix unitaire minimal
On a vu que le cout unitaire était {10x²- 3000x+25000}/x soit 10x- 3000+25000/x
Ceci peut être considéré comme l'expression algébrique d'une fonction. On cherche les extrema par l'annulation de la dérivée...
(10x- 3000+25000/x ) ' = 10 - 25 000/x² (ceci étant la dérivée)
on résoud 10 - 25 000/x² = 0 => 10 = 25000/x² => 10x² = 25000 => x² = 2 500 soit deux soutions mathématiques : x1= 50 et x2= -50
On élimine -50 qui n'est qu'une solution mathématique n'ayant aucune valeur dans la réalité du problème. Reste 50 !!!
Ce 50 est le nombre de tonnes pour que le coût unitaire soit le plus bas possible ...
çà c'est intéressant pour toi car ton coût de fabrication est le plus bas possible !!!
Pourquoi utiliser la dérivée ???bein, trace la courbe du prix unitaire avec un logiciel comme geogebra (gratuit) et tu verras que pour trouver ce prix minimum sur un graphique ...c'est illisible ! la courbe est trop plate autour de 50 !!! si tu ne sais pas que la solution est 50, il est impossible de la trouver par lecture graphique.
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Pour ton second problème, je comprends pas ! en plus x est un nombre décimal alors qu'il représente un nombre d'articles produits !!! ce problème remplace le caractère discret de la variable à un caractère continu ne signifiant rien !!!
C'est faire des math pour des math avec un habillage pseudo-concret !
Enfin !
apparemment, on te demande de retrouver P le prix de vente unitaire
tu veux "p=" tu isole racine(p) puis tu élèves au carré
x = 100 - 2. racine (p) soit racine(p) = 50 - x/2
on élève au carré les deux membres
p = (50 - x/2)² qui est le prix unitaire
Le cout unitaire est : 4x²+ 300x + 10000
Comme dans le problème précédent, on a le cas catastrophique pour prix = cout donc (50 - x/2)²= 4x²+ 300x + 10000
tu développes, tu réorganises le polynôme... puis discriminant pour valeur exacte.
2500 - 50x + x² /4 = 4x² + 300x + 1000
Ici encore, on peut utiliser la méthode graphique pour trouver une valeur approchée.
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