Problème sur optimisation (math)

Bonjours à tous, voila notre prof de math a corrigé deux problèmes. Et malheureusement avec la correction je ne comprends pas son cheminement.
Donc je m’adresse à vous pour m’aider à comprendre.Merci

Voici l’énoncé du 1er problème :

Le cout de production de x tonnes d’un produit (par semaine vaut) : 10x²+5000x+25000 euros.
Calculer le prix de vente à la tonne le plus bas permettant de couvrir les frais. Si le prix à 8000 euros la tonne, quel niveau de production assure le revenu net (recette moins cout) maximum, dans l’hypothèse ou toute la production sera écoulée ?

Correction :
Par définition le prix unitaire qui permet de couvrir les frais est P(x)= C(x) (ou P(x)= prix unitaire correspond à un niveau de production x et C(x)= cout unitaire correspondant à un niveau de production x) c’est a ce niveau que j’ai du mal à comprendre.
Or C(x)= Ct(x) / x
On a donc P(x)= 10x+50000+ 25000/x
Ensuite il va faire la dérivée de cette fonction et ensuite la dérivée seconde. A la fin x= 50 et p= 6000
-le revenu net correspondant à un niveau de production x est : R(x)= rt(x) - ct(x) (ou rt(x)= recette totale et ct(x) = cout total) et pourquoi ??
R(x)= 8000x – (10x²+5000x + 2500) Pourquoi rt(x)= 8000x ???

Voici l’énoncé du 2nd problème :

Et pour indication je ne comprends rien à la correction
Un fabriquant d’appareils produits x exemplaires par semaine à un cout total de 4x²+ 300x + 10000 euros. La demande hebdomadaire de cet appareil est x= 100- 2 (racine de(p)), p étant le prix unitaire en euros. Si le fabricant règle sa production sur la demande, quel niveau de production lui procurera le revenu net maximum ?

Correction : le revenu net correspondant à une production de x unités est : R(x)= rt(x)-ct(x)
= P.x – Ct (x)
Or x= 100- 2(racine de(p)) donc 2(racine de(p))= 100- x (x doit être compris entre 0 et 100) p= ((100-x)/2)² c’est la que je ne comprends pas
D’où R(x) : …. La suite j’ai compris

Voila comment je comprends ton 1er problème :

Le cout de production dépend de x (nombre de tonnes produites) = 10x²+5000x+25000

Le prix de vente est de 8000€ pour une tonne donc, pour x tonnes = 8000x

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Pour chercher la production minimum pour commencer à gagner de l'argent
méthode 1
Si tu vends au prix où tu fabrique ( 10x²+5000x+25000 = 8000x ) tu n'as aucun bénéfice !

Tu cherches donc à savoir quand ce cas catastrophique peut arriver :
tu résous 10x²+5000x+25000 = 8000x soit 10x²+5000x+25000 - 8000x = 0
soit 10x²- 3000x+25000 = 0 (soit discriminant pour valeur exacte soit graphique pour valeur approchée )

méthode 2
On passe par le cout unitaire (sachant que l'unité dont on parle est la tonne).

On remplace 10x²+5000x+25000 par {10x²+5000x+25000} /x
soit 10x + 5000 + 25 000/x

Le cout de production unitaire dépend de x (nombre de tonnes produites) = 10x+5000+25000/x

Le prix de vente unitaire est = {8000x}/x soit 8000

il suffit alors de résoudre 10x+5000+25000/x = 8000 ( cas catastrophique de tout à l'heure Prix = cout donc aucun bénéf)


soit 10x-3000+25000/x = 0 ce qui revient, en multipliant chaque termes par x, à 10x²- 3000x+25000 = 0 (voir plus haut)

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Pour le prix unitaire minimal

On a vu que le cout unitaire était {10x²- 3000x+25000}/x soit 10x- 3000+25000/x

Ceci peut être considéré comme l'expression algébrique d'une fonction. On cherche les extrema par l'annulation de la dérivée...

(10x- 3000+25000/x ) ' = 10 - 25 000/x² (ceci étant la dérivée)

on résoud 10 - 25 000/x² = 0 => 10 = 25000/x² => 10x² = 25000 => x² = 2 500 soit deux soutions mathématiques : x1= 50 et x2= -50

On élimine -50 qui n'est qu'une solution mathématique n'ayant aucune valeur dans la réalité du problème. Reste 50 !!!

Ce 50 est le nombre de tonnes pour que le coût unitaire soit le plus bas possible ... çà c'est intéressant pour toi car ton coût de fabrication est le plus bas possible !!!

Pourquoi utiliser la dérivée ???

bein, trace la courbe du prix unitaire avec un logiciel comme geogebra (gratuit) et tu verras que pour trouver ce prix minimum sur un graphique ...c'est illisible ! la courbe est trop plate autour de 50 !!! si tu ne sais pas que la solution est 50, il est impossible de la trouver par lecture graphique.



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Pour ton second problème, je comprends pas ! en plus x est un nombre décimal alors qu'il représente un nombre d'articles produits !!! ce problème remplace le caractère discret de la variable à un caractère continu ne signifiant rien !!!
C'est faire des math pour des math avec un habillage pseudo-concret !
Enfin !

apparemment, on te demande de retrouver P le prix de vente unitaire

tu veux "p=" tu isole racine(p) puis tu élèves au carré
x = 100 - 2. racine (p) soit racine(p) = 50 - x/2

on élève au carré les deux membres
p = (50 - x/2)² qui est le prix unitaire

Le cout unitaire est : 4x²+ 300x + 10000

Comme dans le problème précédent, on a le cas catastrophique pour prix = cout donc (50 - x/2)²= 4x²+ 300x + 10000

tu développes, tu réorganises le polynôme... puis discriminant pour valeur exacte.
2500 - 50x + x² /4 = 4x² + 300x + 1000

Ici encore, on peut utiliser la méthode graphique pour trouver une valeur approchée.