maths
Forum Etudes / Travail : maths
soit f: R^ 4 -> R^3 l'application definie par :
(x1,x2,x3,x4)->(x1-x2,x3-x4,0)
soit B3 la base canonique de R^3, soit la base canonique de R^4. On note B'=(v1,v2,v3) une base de R^3 avec
v1=(1,1,0)
v2=(1,0,1)
v3=(0,1,1)
calculer les matrices A=(f)B4,B3
A'=(f)B4,B'
B4 et B3 sont en indice pareil pour B4 et B'
je n'arrive pas vraiment a le faire...jai du mal avec les matrices de passage! le fait qu'il y ait 2 bases B3 et B4 me brouillent
Message édité par maya28 le 22-11-2008 à 19:13:19
Une matrice de passage est une application linéaire bijective entre 2 espaces vectoriels de dimension finie, tout simplement. C'est la matrice identité exprimée, dans une base pour les antécédents et dans une autre base pour les images. Le fait de prémultiplier ou "postmultiplier" par une matrice de passage c'est juste composer une application par l'identité à gauche pour changer la base des images et à droite pour changer la base des antécédents.
Bref, la présence de 2 base est toute naturelle, car les vecteurs X , qu'on prend il faut bien les exprimer dans une base, mais ensuite l'image f(X), il faut bien aussi l'exprimer dans une base, donc on fait intervenir la base des antécédent et la base des images.
Pour l'exo :
Exprime A dans les bases canoniques (ie B4 pour les antécédents et B3 pour les images):
A=
1 -1 0 0
0 0 1 -1
0 0 0 0
Pour ce calcul, il suffit de calculer :
f(1,0,0,0)=(1,0,0) (on met en colonne)
f(0,1,0,0) = (-1,0,0) (on met en colonne à côté)
...etc
Maintenant on te demande la même chose en exprimant l'image dans la base B' plutot que la base B3...Il suffit de composer à gauche par une matrice de passage
P=
1 1 0
1 0 1
0 1 1
qui n'est autre que la matrice identité dont les antécédents sont pris dans B' et les images dans la base B3 notée id(B',B3').
Pour savoir s'il s'agit de P ou P^-1, fais le raisonnement suivant :
f(X) est exprimée dans B3, pour le passer dans B', il faut multiplier par id(B3,B')
Et ainsi A'=(f)B4,B'=id(B3,B')*A=P^-1*A
EDIT : j'ai corrigé une coquille dans le paragraphe précédent !
Message édité par abel_b le 22-11-2008 à 19:54:27
jai pas l'habitude que F ne soit pas un endomorphisme et ca me gene beaucoup je dois dire...
A=
1 -1 0 0
0 0 1 -1
0 0 0 0
je lai trouvé en factorisant par x1,x2,x3 et x4 (x1-x2,x3-x4,0)
mais je ne savais pas a quoi ca correspondait mais apparement c'est A (??)
et pour ton
P=
1 1 0
1 0 1
0 1 1
jai pensé que c'etait Pass(B3,B') ? mais a quoi ca peut me servir
La matrice Pass(B3,B') = P^-1 de mon exemple
C'est l'application qui permet de faire une conversion entre 2 bases si tu préfères.
Ici la matrice P que je donne (je n'ai pas l'habitude de mettre en indice les bases, donc dsl si je ne suis pas rigoureux sur l'ordre) est celle qui convertit un vecteur de B' dans la base B3...par exemple, P*v1=(1,1,0) en colonne (sachant que v1=(1,0,0) dans la base B').
Dans notre cas, on sait que les images que va nous donner A seront dans la base B3...or il nous les faut dans la base B', ce qui nous fait faire la conversion inverse de P (P je le rappelle convertit un vecteur de B' en B3), donc on prémultiplie par P^-1
Répondre à abel_b
Pass(B3,B')=
0 1 -1/2
1 -1 1/2
0 0 1/2
?
je le multiplie a A et jobtiens A'
Message édité par maya28 le 22-11-2008 à 20:21:08
A'=Pass(B3,B')*A : tout simplement
Attention, B' c'est une base, ce n'est pas une matrice.
Répondre à abel_b
je viens juste dediter car javais vu mon erreur ^^
mais en fait A'= Mat(id) B'->B3 * Mat (f)B4,B3 ???
Qu'est ce que tu entends par la notation Mat(id) B'->B3 ?
Si c'est la matrice qui convertit les vecteurs de B3 vers B' alors oui
PS : je n'aime pas parler de matrice, je préfère parler d'application linéaire car c'est plus parlant. Les matrices, c'est pratique pour les calculs c'est tout.
Message édité par abel_b le 22-11-2008 à 20:30:18
Répondre à abel_b
oui c'est ca que je veux dire....mais je vois pas pourquoi cette egalité est vraie en fait
je crois que tu tes trompé lol, il faut pas mieux faire A*P^-1 ?
ah non pardon sinon c impossible
Soit A une matrice entre 2 bases B4 et B3
AX = vecteur exprimé dans la base B3
Nous on veut exprimer le vecteur Y dans la base B' : pas de chance, A nous le donne que dans la base B3. Il suffit juste de changer de base Y...ce qui nous intéresse nous, c'est P^-1*Y (qui est Y exprimé dans la base B'). Mais P^-1*Y=P^-1*(A*X) = (P^-1*A)*X, ce qui revient à poser A'=P^-1*A où on sait que A' donne les image dans la base B' (au lieu de calculer A*X, puis de le passer dans B').
Message édité par abel_b le 22-11-2008 à 20:39:18
Répondre à abel_b
Donc A' =
0 0 1 -1
1 -1 -1 1
0 0 0 0
rien a faire je men sort pas ds les calcul pourrai tu me donner tn resultat de A' pour que je vois cmmt faire ?
Suffit de faire le produit matriciel P^-1*A !
Ce qui donne :
Message édité par abel_b le 22-11-2008 à 22:31:23
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