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probléme de compréhension sur une limite (math)

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjours,
Voilà, j'ai du mal à comprendre le résonnement de l'exercice suivant, donc je m'adresse à vous pour m'aidé à comprendre l'exercice. Merci.

L'énoncé: Déterminez la limite de f(x)=x- Racine de x² -x quand x tend vers + infini.
On sait que c'est une forme indéterminée de la forme plus infinie moins infinie.


Pour cela la correction dit: si nous multiplions et divisons la quantité conjuguée x+racine(x²-x) on obtient lim qd x tend vers +oo de x-racine de (x²-x) = x/(x+racine de (x²-x)) et la je ne comprends pas comment il on fait pour trouver x au numérateur.

Ensuite la correction dit: Or lim qd x tend ver+00 de x/(x+racine de (x²-x)) est égale à : lim quand x tend vers +oo de x/2x et la encore je ne comprends pas pourquoi ce résultat.


Au final la limite est de 1/2.

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faudrait commencer par réécrire f(x) avec des parenthèses, car écrite comme ça, c'est pas trop dur de trouver une limite :

f(x)=x- Racine de x² -x = - racine carré(x)


si f(x)=x- Racine de(x²-x)

f(x) * 1 = [x- Racine de(x²-x)] * [x+ Racine de(x²-x)] / [x+ Racine de(x²-x)]
f(x) = [(x- Racine de(x²-x)) * (x- Racine de(x²-x))] / (x+ Racine de(x²-x))
de type (a-b) * (a+b) = a²-b
f(x) = [ x² -(x²-x)] / (x+ Racine de(x²-x))
f(x) = x / (x+ Racine de(x²-x))


ensuite racine (x²), c'est valeur absolue de x et comme x est positf quand il tend vers l'ifinie, on peut enlever la valeur absolue.

pour x 'grand', racine (x²) = x


x / (x+ Racine de(x²-x))
= x / (x+ Racine de(x²(1-1/x)))
=x / (x+ x * racine (1-1/x))

tend vers x/2x = 1/2 (là, c'est clair qu'il manque une étape)
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