Dm de maths Prépa BCPST

Bonjour,

J'ai un dm de maths sur les suites à faire et je suis bloquée au niveau des deux dernières questions
Pourriez vous m'aider ???

Voici l'énoncé et ce que j'ai déjà trouvé:

Soit a appartenant à R. Soit f la fonction définie sur ( je dirais R* puisqu'il n'y avait rien d'indiqué) par f(x)= x^a - ln(x)

1) déterminer la dérivée de f

J'ai trouvé f'(x)= (ax^a -1) / x

2) déterminer le signe de la dérivée dans chacun des cas suivants
a) a<ou égale 0 b) a>0

pour a) jai trouvé f' toujours négatif car x est positif et différent de 0 a cause du logarithme

pour b) de 0 à 0.5 négatif et de 0.5 a + linfini positif mais ca je l'ai trouvé a la calculatrice et je ne sas pas le démontrer???

3) Etablir dans chaaque cas le tableau de variations de f en précisant les limites de f aux bornes de 0; + linfini
dc pour a) lim en 0 c'est + linfini pour b) lim en 0 et en +linifni c'est + linfini

4) dans cette question on considère a>0

a) étudier le signe de f((1/a)^1/a)) suivant les valeurs de a

j'obtiens f((1/a)^1/a)) = 1/a ( 1+lna)

et on trouve que c'est négatif de -linfini a e^-1 et positif de e^-1 a + linfini est ce que j'ai besoin de dérivé pour trouvé ce signe ou je peux directement faire comme j'ai fais????

b) en déduire en fonction de a le nombre de solutions de l'équation : ln(x) = x^a (Ea)
remarque: on en demande pas de calculer les solutions

La j'ai trouvé 1 solution puisque la fonction qu'on a étuidé avant c'était ((1/a)^1/a)) donc si on pose X=(1/a)^1/a on trouve les solutions de f(X) = X^a -ln(X)

5) dans cette question on considère a<ou égale 0
Déterminer dans ce cas le nombre de solutions de l'équation ln(x) = x^a (Ea)

et là je suis bloquée je ne vois pas ce qu'il faut faire

6) Soit n appartenant à N et Un l'unique solution de (E-n)

a) Calculer f-n ( le -n est en indice) (1) et montrer que la suite (Un) est minorée par 1

Je trouve f(1)=1

mais comment je prouve qu'elle est minorée par 1????

b) en utilisant la définition de Un+1 monter que: f-n (Un+1)= (Un+1)^-n( 1- (Un+1)^-1) puis comparer f-n(Un) et f-n(Un+1). En déduire que la suite (Un) est décroissante.

Là aussi je suis coincée

c) en déduire que (Un) converge. Soit l cette limite

J'ai dis qu'elle est décroissante et minorée par 1 dc elle converge vers un réel l

d) montrer que la supposition l>1 amène à une absurdité.

Je suis de nouveau bloquée

e) en déduire la valeur de l

Pourriez vous m'aidez s'il vous plait merci d'avance

d'apres les espace, c'est bien (x^a) - ln(x)

dérivée ax^(a-1) - 1/x
mais x^(a-1) peux s'écrire (x^a)/x
d'où l'écriture (ax^a - 1)/x

ensuite on essaie en général de f'(x) =0
l'écriture (ax^a - 1)/x est plus sympa car x non nul

x^a=1/a
a lnx= - lna
soit x= exp(-lna / a) ouf, pareil

a<0, ça a un sens?
c'est pas plutot a € [0;1] et a € [1;+inf[ ?

Merci mais tout ca j'ai réussi j'aimerais avoir de l'aide plus précisément pour la question 5 et 6
merci d'avance

oui mais comme c'est tout le temps négatif est ce que je peux dire que la fonction f décrit une bijection et que donc elle n'a qu'une solution et je dois résoudre f(x)=0
Mais donc pour la question 4 b il y aurait 2 solutions si je dit qu'elle définie une bijection de 0 à e^-lna/a et une autre bijection de e^-lna/a a linfini?

vous n'auriez pas une petite indication pour la question 6 svp?

D'accord jusque là c'est bon mais pour la question 6 tu n'as pas une petite indication?

C'est E-n mais j'ai réussi à faire la question 6b mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est décroissante car je devrais faire f(Un+1)- f(Un) mais je n'arrive pas à prouver que c'est négatif et je ne vois pas comment montrer qu'elle est minorée et je ne sais pas non plus comment trouver une absurdité pour la question 6 d
Merci