Mathématiques Terminale Scientifique
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Alors tout d'abord Bonjour !!
Je vous contacte parce que je bloque sur mes exos de maths à faire pendant les vacances ....
Les voici :
Exo 1 :
On considère la suite (un) définie par uo=1 et pour tout n Є N
un+1= Racine( 3un+4)
1)Démontrer que pour tout nЄN 1≤un≥4 et que la suite (un) est croissante .Que pouvez en déduire ?
2)Déterminer la limite de la suite (un)
Pour la 1 j'ai fait raisonnements par récurrence mais je ne sais pas si c'est la meilleure facon de faire ....
Pour la déduction , j'ai déduis que la suite (un) est croissante et converge vers un réel l £{1;4}
Exo 2 :
On pose pour n ≥ 1
un= 1 + 1⁄1! + 1⁄2! +....+1⁄n!
et vn=un + 1⁄nxn!
1) Vérifier que u1=2 et que v1= 3.
Calculer u2,u3,v2 et v3.
2)Montrer que (un) est strictement croissante et que (vn) est strictement décroissante .
3) Etudier lim quand n tend vers + l'infinie de 1⁄nxn!
En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes .
4a) On suppose que les suites (un) et (vn) convergent vers le nombre e d'euler ( e=2,718 arrondi à 10 exposant -3 près )
Formulons l'hypothèse que e est rationnel , c'est a dire qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e=p⁄q
4) En utilisant les résultats de la question 3) justifier que uq<p⁄q<vq
En déduire que l'entier N=pq! - qq! Vérifie 0<N<1
4b) Conclure que e est un nombre irrationnel .
J'espère avoir un minuscule coup de pouce !!
Merci de votre aide !!!
Je vous contacte parce que je bloque sur mes exos de maths à faire pendant les vacances ....
Les voici :
Exo 1 :
On considère la suite (un) définie par uo=1 et pour tout n Є N
un+1= Racine( 3un+4)
1)Démontrer que pour tout nЄN 1≤un≥4 et que la suite (un) est croissante .Que pouvez en déduire ?
2)Déterminer la limite de la suite (un)
Pour la 1 j'ai fait raisonnements par récurrence mais je ne sais pas si c'est la meilleure facon de faire ....
Pour la déduction , j'ai déduis que la suite (un) est croissante et converge vers un réel l £{1;4}
Exo 2 :
On pose pour n ≥ 1
un= 1 + 1⁄1! + 1⁄2! +....+1⁄n!
et vn=un + 1⁄nxn!
1) Vérifier que u1=2 et que v1= 3.
Calculer u2,u3,v2 et v3.
2)Montrer que (un) est strictement croissante et que (vn) est strictement décroissante .
3) Etudier lim quand n tend vers + l'infinie de 1⁄nxn!
En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes .
4a) On suppose que les suites (un) et (vn) convergent vers le nombre e d'euler ( e=2,718 arrondi à 10 exposant -3 près )
Formulons l'hypothèse que e est rationnel , c'est a dire qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e=p⁄q
4) En utilisant les résultats de la question 3) justifier que uq<p⁄q<vq
En déduire que l'entier N=pq! - qq! Vérifie 0<N<1
4b) Conclure que e est un nombre irrationnel .
J'espère avoir un minuscule coup de pouce !!
Merci de votre aide !!!
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par récurrence, c'est bien.
tu supposes qu'il exite un p tel que Up>=1
ça fait que Up+1>= racine (7) >=1
et comme c'est vrai pour p=0, c'est vrai pour tous
la même chose pour Up<=4
Un st positive, comparer le signe de Un+1 - Un revient à comparer le signe de (Un+1)²-(Un)²
(Un+1)²-(Un)² = 3Un+4-(Un)² = - (Un-4)(Un+1) qui est positif sur [1:4]
Un est croissante et bornée, elle admet donc une limite dans [1;4]
tu supposes qu'il exite un p tel que Up>=1
ça fait que Up+1>= racine (7) >=1
et comme c'est vrai pour p=0, c'est vrai pour tous
la même chose pour Up<=4
Un st positive, comparer le signe de Un+1 - Un revient à comparer le signe de (Un+1)²-(Un)²
(Un+1)²-(Un)² = 3Un+4-(Un)² = - (Un-4)(Un+1) qui est positif sur [1:4]
Un est croissante et bornée, elle admet donc une limite dans [1;4]
exo 1
1- Pourquoi pas
2- Tu dois utiliser le fait que x-> sqrt(4+3x) est continue
La limite vérifie donc l=sqrt(4+3l)...maintenant tu peux calculer l....
exo 2
1-2-3- ...ça devrait aller
4- Un et Vn sont adjacentes donc Uq<p/q<Vq...normalement on connait ce résultat en TS, sinon il suffit de supposer p/q plus grand que Vq et d'aboutir à une contradiction (idem pour p/q<Uq)
5- Pars de l'inégalité Uq<p/q<Vq (c'est une inégalité stricte) et multiplie par qq!...on se rend compte que l'entier du mileu (il faudra démontrer que c'est un entier) est strictement compris entre 2 entiers consécutifs, ce qui est absurde.
1- Pourquoi pas
2- Tu dois utiliser le fait que x-> sqrt(4+3x) est continue
La limite vérifie donc l=sqrt(4+3l)...maintenant tu peux calculer l....
exo 2
1-2-3- ...ça devrait aller
4- Un et Vn sont adjacentes donc Uq<p/q<Vq...normalement on connait ce résultat en TS, sinon il suffit de supposer p/q plus grand que Vq et d'aboutir à une contradiction (idem pour p/q<Uq)
5- Pars de l'inégalité Uq<p/q<Vq (c'est une inégalité stricte) et multiplie par qq!...on se rend compte que l'entier du mileu (il faudra démontrer que c'est un entier) est strictement compris entre 2 entiers consécutifs, ce qui est absurde.
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