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exercice sur les suites et limites (term S)

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour cet exercice :

La suite (Un) est définie pour tout n>=1 (supérieur ou égal) par :

Un = V(n+1) - Vn (V = racine carrée)

1. démonter que pour tout n >= 1

1 / ( 2V(n+1) )<= Un <= 1 / ( 2Vn )
Je ne sais pas comment faire.. j'ai remplacé n par 1 mais ça ne prouve que pour 1....

2. Quelle est la limite de la suite (Un) ?

je bloque ... il s'agit d'une forme indéterminée non ?
lim (Un) = lim (V(n+1) - V(n) ) = ... ?

3. La suite (Wn) ets définie pour tout entier n>= 1 par :
Wn = ( U1 + U2 + ... + Un ) / Vn (rappel V = racine carrée)


Quelle est la limite de la suite Wn ?

je suppose qu'il faut avoir la limite de Un mais ensuite comment faire ?


En vous remerciant. Yuna

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ça colle pas,
( 2V(n+1) )<= Un <= 1 / ( 2Vn )

Un est la différence de deux nombres positifs (des racines)
donc A=B-C
tu as forcément
B>A
donc V(n+1)>Un
donc tu peux pas avoir
( 2V(n+1) )<= Un

en plus la courbe confirme :) 

donc c'est
1/( 2V(n+1) )<= Un <= 1 / ( 2Vn )

qu'il faut démontrer ;) 

du coup je pense que ça ira mieux.

bon courage

ok pour la limite, je trouve pareil, ça tend vers zéro.

en ce qui concerne Wn, il faut tout d'abord que tu exprimes U1+U2+.....+Un-1+Un
Spoiler


on a :
Un = V(n+1) - Vn
donc:
U1=V2-V1
U2=V3-V2
.
.
.
Un-1=Vn-V(n-1)
Un=V(n+1)-Vn

Donc somme(U1 à Un)=V(n+1)-V1

t'es d'accord?

Wn = ( U1 + U2 + ... + Un ) / Vn
Wn = (V(n+1)-1)/Vn


et pour la limite de Wn...

Citation :
1. démonter que pour tout n >= 1

1 / ( 2V(n+1) )<= Un <= 1 / ( 2Vn )


Rends toi compte que 1/(2V(x)) est la dérivée de V(x) donc tu dois t'apercevoir que

Un =racine(n+1) -racine(n)=intégrale entre n et n+1 de ( 1/(2V(x)) )

Maintenant il te suffit de majorer l'intégrale par le maximum entre n et n+1 de l'intégrande et de minorer par le minimum entre n et n+1 de celui ci. Cela te donne immédiatement l'inégalité que tu veux.

2- Un petit coup de théorème des gendarmes et le tour est joué.
3- cf la réponse plus haut

abel_b a dit :
Citation :
1. démonter que pour tout n >= 1

1 / ( 2V(n+1) )<= Un <= 1 / ( 2Vn )


Rends toi compte que 1/(2V(x)) est la dérivée de V(x) donc tu dois t'apercevoir que

Un =racine(n+1) -racine(n)=intégrale entre n et n+1 de ( 1/(2V(x)) )

Maintenant il te suffit de majorer l'intégrale par le maximum entre n et n+1 de l'intégrande et de minorer par le minimum entre n et n+1 de celui ci. Cela te donne immédiatement l'inégalité que tu veux.

2- Un petit coup de théorème des gendarmes et le tour est joué.
3- cf la réponse plus haut


J'ai réussi à répondre à cette question finalement mais sans utiliser l'intégrale que je n'ai jamais vu en cours pour le moment ! Merci quand même !

J'en suis à la dernière question il faut toruver la limite de Wn.

j'ai fait lim (Wn) = lim (Un) * lim (1 / racine carrée de n) et je trouve 0 ... est-ce juste ?

A ok non c'est bon ! C'est juste qu'à cause des notations je me suis embrouillée ! Je croyais que V était une fonction alors que c'est une simple racine carrée !! Désolée !!

du coup ça fait l'infini sur l'infini, c'est une forme indéterminée non ? On peut dire que ça fait 1 ?

Reconnaît un téléscopage : les termes sommés "s'entretuent" donc ne restent que le premier et le dernier donc on peut facilement exprimer Wn en fonction de n et donc trouver sa limite...

Wn = 1/rac(n)*[ rac(2)-rac(1) + rac(3)-rac(2) + rac(4) - rac(3) +...+rac(n)-rac(n-1) + rac(n+1)-rac(n) ]
Constate que tous les termes mis à part le rac(1) et le rac(n+1) s'annulent entre eux...maintenant tu connaît Wn en fonction de n...la limite est très simple à calculer.

Bonsoir,

Pourriez-vous m'aider à calculer ces limites s'il vous plaît ?

lim f(x) = lim ((1-cos x) / sinx ) en 0
et lim g(x) = lim ( (2 - rac (3x - 2)) / rac(2x + 5) -3 ) ) en 2.

Merci. Yuna

J'ai cherché et je suis encore en train de le faire, je vous tiens au courant si je trouve des solutions.


Pour la première c'est bon, j'ai trouvé 0.
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