Bonjours, voila j’ai colle lundi en mathématique et j’ai commencé les révisions et je me suis rendue compte que je rencontre quelques difficultés sur certains points. Je m’adresse à vous et compte sur vous pour combler ses impasses. ET merci D’avance !!!

_ Tout d’abord j’ai du mal à comprendre comment prouver qu’une fonction est injective, surjective, et bijective
_ Ensuite on a résolu 1 petit problème que je n’ai absolument rien compris.
Enoncé : une agence de publicité américaine estime que le gain d’une firme sur la vente d’un produit augmente de 25 dollars par dollars supplémentaire investi en publicité. Si ce gain est de 150 000 dollars par mois pour des frais de publicité de 100 dollars, quel sera le gain pour un investissement de 500 ? (on supposera que le gain perçu par une entreprise dépend de manière affine de la somme qu’elle investit en publicité).

Réponse : le gain perçu par l’entreprise se définie par g : ax+b
Si x=1 alors le gain augmente de 25$
Si x=2 alors le gain augmente de 50$
Si x=3 alors le gain augmente de 75$
(Petite question que représente x ici ?)
Si x’= x+1 (POURQUOI ??) alors g’= g +25 (POURQUOI ??)
Donc g’= ax’+b
g+ 25= a(x+) +b
g+25= ax+a +b
g +25= a+g
a=25
g=25x+b (et b que représente t il ainsi que a ??)
150 000= 25*100 + b
b= 147 500
Donc g = 25x +147 500
Si x= 500 alors g= 160 000

Puis un autre petit exo soit x appartient] -00 ; 2[
e^ (ln (2-x)) = e^2
2- x = e^2
X= -e^2 - 2 (et pourquoi pas e^2 – 2 ??)

merci.

Bonjour,
Il faut mettre en relation les opérations et l'énoncé.

Tu vois que tu étudies une relation entre le gain et l'investissement.
g est le gain en dollars
x représente le nombre de dollars supplémentaires investis en publicité
En clair, quand tu veux calculer le gain g, tu as :
- Une partie "fixe", qui est le gain initial, avant qu'on fasse de la pub (l'entreprise aurait bien gagné un petit quelque chose sur son produit même sans la publicité). Ici, on l'a appelée b.
- Une partie proportionnelle à la publicité. Ici, c'est ax : x est le nombre de dollars investis en publicité et a est un coefficient (= combien de dollars gagnés par dollar investi).
D'où la formule finale : g=ax+b

Ensuite, ton exo t'amène à trouver les valeurs de a et b.
Pour le a, on compare deux gains.
Le 1er est appelé g. Il correspond à l'investissement x, et on a toujours g=ax+b
Le 2ème est appelé g'. Il correspond à l'investissement x' (en fait, on garde la même lettre pour savoir de quoi on parle, mais on rajoute quelque chose - ici un ' ; mais ça pourrait être un chiffre en indice - pour distinguer les différentes situations), et on a la même formule : g'=ax'+b.
Tu sais que "la vente d’un produit augmente de 25 dollars par dollars supplémentaire investi".
Donc si x'=x+1 ; c'est-à-dire si tu investis 1$ de plus que dans la 1ère situation
alors g'=g+25 ; c'est-à-dire que tu gagnes alors 25$ de plus que dans la 1ère situation.
Ceci te permet de calculer le coefficient a (même si ça pouvait aussi être intuitif).
Ensuite, tu prends une autre situation où tu connais g et x, pour calculer le b.

Est-ce que ça te paraît plus clair ?
Sinon, je peux essayer de dire les choses autrement (et n'hésite pas non plus à insister sur ce qui te pose problème)

Et pour le 2ème exo (mais les logarithmes, ça remonte à très loin pour moi) :
2- x = e^2
Tu enlèves 2 de chaque côté :
- x = e^2 - 2
Tu multiplies tout par -1 :
x = -e^2 + 2
(oui, je sais, ça ne correspond pas à ce que tu as mis)

Prouver qu'une fonction f : E-> F est injective:
il faut montrer que f(a)=f(b) => a=b

Prouver qu'une fonction f : E-> F est surjective:
il faut montrer que pour tout y pris dans F, il existe un x dans E, tel que f(x)=y.

Prouver qu'une fonction f : E-> F est bijective:
montrer les deux trucs précédents (en général)

Tout d'abord merci à vous deux de votre aide.
Grace à ton explication Glublutz le problème je l'ai compris.
Et toi johnarvet, ton explication c’est une explication mathématique moi je veux plutôt des exemples et des contre-exemples pour les différents cas (injectives, surjectives)

Autre chose : est ce la meme methode que le probleme sité pour resoudre des types d'exo dans ce genre??

Ben, pour le 1er exo, si c'était juste pour répondre à la question posée, il y avait beaucoup plus simple :
25$ de gain par dollar investi en plus, donc pour passer de 100 à 500$ d'investissement, ça fait 400$ de plus investis, donc un gain supplémentaire de 25*400=10 000$
Et 150 000 + 10 000 = 160 000

PS : et désolé pour les fonctions bijectives etc, mes souvenirs sont beaucoup trop brumeux pour que je puisse donner des explications...

D’accord quelqu'un d'autre pourrai t-il m'expliquer les fonctions injectives, surjectives car elles feront malheureusement parties du devoir!!!

Tout est dit je vais me contenter de donner des exemples.

Soit f: R -> R+
______x -> x²

Si la fonction est injective alors un élément de l'espace d'arrivée (R+) ne possède qu'un antécédant.
C'est faux ici car par exemple si je choisis y=4€R+ je constate que f(2)=y et f(-2)=y or -2 est différent de 2 donc y n'est pas injective.

Par contre f est surjective car quelque soit y€R+ il existe un x tel que f(x)=y. On remarque facilement que racine(y) est un x qui convient.

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Maintenant si je change et je fais aller f de R dans R.
f n'est toujours pas injective par contre f n'est plus surjective. Si je choisis y=-3€R il n'existe aucun x tel que f(x)=-3.

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Je rechange encore et je fais aller f de R+ dans R.
f n'est toujours pas surjective mais elle est devenue injective : dans R+, si a²=b² alors a=b.

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Je rechange encore et je fais aller f de R+ dans R+.
f est maintenant injective et surjective. Elle est bijective

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Maintenant f va de R- dans R+.
On constate que f est encore une fois bijective.

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La dernière, f va de R dans R-.
Petit problème, cette fonction est absurde : certains x n'ont pas d'images dans R- : f(2) n'existe pas. Donc la fonction n'existe pas (petite remarque : n'importe quelle assertion est vraie dans une proposition absurde. Tu peux donc dire que f est injective ou bien qu'elle ne l'est pas ^^)

Bon je crois qu'on a fait le tour de la fonction carrée. Tu peux trouver d'autres exemples sur Wikipédia.

Pourriez vous me donnez quelque petit exercice sur ces fonctions pour voir si j'ai bien compris

Mais tu n'as ni cours ni exos ?
Bon allez quelques exercices bateaux :

Etudier l'injectivité et la surjectivité de :

1/ f: (R-) -> R
_____ x -> cos (x)

2/ g: N² -> N*
___ (n,p) -> (2*p+1)*(2^n)

3/ h: R² -> R²
___ (x,y) -> (x+y,x-y)

4/ i : {ensemble des polynomes} -> {ensemble des polynomes}
_______________________ f(x) -> f ' (x)