On considère la suite numérique (Un) définie sur N par:
U0=a, et, pour tout entier n, U(n+1)= Un(2-Un) où a est un réel donné tel que 0<a<1.
2) On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l'intervalle ]0;1[.
2.a Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0<Un<1.
2.b Montrer que la suite (Un) est croissante.
Moiu, je suis arrivé à faire le 2b mais je suis bloqué pour le a je ne sais pas comment commencer ma récurrence.
Dans une démonstration par récurrence, il faut que tu montres que la proposition 0<Un<1 est vraie au rang initial (soit dans le cas présent U0) puis l'admettre au rang "n" et le démontrer au rang "n+1".
Tu peux écrire U(n+1)=-Un²+2Un
Tu as déjà l'encadrement de Un, trouve celui de -Un²+2Un et tires-en la conclusion qui s'impose.
Bon courage !
Si tu as des difficultés a encadrer U(n+1) , considere la fonction f telle que U(n+1)=f(Un), tu l'étudie sur [0,1] (dérivée et tableau de variation) et tu voies si l'image de [0,1] est bien inclue dans [0,1].
Si oui tu as assuré l'hérédité de ta reccurence car si Un est dans [0,1] alors U(n+1) est dans [0,1] , si la relation est vraie a un ordre p (ici 0) , elle est donc vraie pour tout n supérieur ou égal a p.
Voila avec nos 2 messages je pense que tu devrais t'en sortir.
Message édité par aquariium le 07-10-2008 à 18:09:01
------------------------------On a jamais deux fois l'occasion de faire une premiere bonne impression
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Avec le même énoncé que précedemment,
J'ai démontré que si la suite (Un) converg vers le réel l, alors l=0 ou l=1
4) En utilisant la définition de la convergence d'une suite; démonter qui si (Un) est une suite croissante de réels définie sur N convergent vers l alors pout tout n, n€N, Un< 1.
Je ne sais pas comment attaquer la question 4.
Aider je vous en supplie.
Et encore merci pour la question 2.
auter petit probléme
6) On suppose dans cette question que a=1/8 et on prouve par une autre méthode que la limite de (Un) est 1.
On considère la suite numérique (Vn) définie sur N par Vn= 1-Un
6a. Exprimer, pour tout entier n, V(n+1) en fonction de Vn
6b. En déduire l'expression de Vn en fonction de n.
MOi j'ai fait
6a. V(n+1)= 1-U(+1)
= 1- (Un(2-Un))
= 1-2Un+Un
= (Un-1)²
= (Vn)²
6b. Ensuite à parti de là je suis bloqué, il faut trouvé une formule du style
Supposons qu'il existe n0 tel que Un0>1 et notons d=|Un0-1| : il est clair que d est non nul. Alors il est clair que Un0>1+d mais comme (Un) est croissante alors tous les termes Un où n>n0 vérifient Un>1+d ce qui contredit la définition d'une limite car par passage à la limite (je ne suis pas très rigoureux, mais c'est pr que tu comprennes l'idée) : lim Un >=1+d....donc Un ne peut pas tendre vers 1 en +oo
Message édité par abel_b le 08-10-2008 à 20:55:23
------------------------------Ce que nous ignorons a plus d’influence sur nos vies que ce que nous savons
Répondre à abel_b
Oui Un est croissante , donc s'il ya un Un>1 , comment serait la limite de Un d'aprés toi?
Aprés tu compare avec les limites eventuelles possibles (tu as trouvé 0 et 1 il me semble) et le tour est joué.
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Répondre à aquariium
Si tu remarque V0=racine(V1) , tu ne fais que confirmer ce que tu as prouvé : V(n+1) = V(n)²
Bon si V0=7/8 , tu l'appelle b , V1=V0² donc b² , V2=V1² , exprime le en fonction de b , et tu verra une superbe reccurence venir!
Et ce n'est pas une suite géometrique donc il n'y a pas de raison.
En fait c'est une suite dont l' exposant est une suite géometrique , enfin tu comprendra tout ca en le faisant..
Message édité par aquariium le 09-10-2008 à 18:15:19
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