MATHS: démontrer que f est dérivable
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjour à tous,
Voici la 1ere question du 1er exercice de mon DM pour jeudi, en maths:
Soit f la fonction définie par f(x)= x exp(x) sur R
Montrer que f est dérivable.
Pour répondre à la question j'avais pensé à utiliser la définition de la dérivée, c'est à dire à calculer la limite lorsque h tend vers 0 de f(a+h) - f(a) / h
Seulement la solution que je trouve est 0.
Alors que quand je calcule la dérivée de cette fonction (comme étant produit de deux fonctions) je trouve exp (x) ( x + 1 )
Pourquoi est-ce que les deux résulats sont différents ?
Pourquoi je ne trouve pas exp(x) (x+1) avec la 1ere méthode ?
Merci à tous les courageux qui vont répondre![:)]( ":)")
Voici la 1ere question du 1er exercice de mon DM pour jeudi, en maths:
Soit f la fonction définie par f(x)= x exp(x) sur R
Montrer que f est dérivable.
Pour répondre à la question j'avais pensé à utiliser la définition de la dérivée, c'est à dire à calculer la limite lorsque h tend vers 0 de f(a+h) - f(a) / h
Seulement la solution que je trouve est 0.
Alors que quand je calcule la dérivée de cette fonction (comme étant produit de deux fonctions) je trouve exp (x) ( x + 1 )
Pourquoi est-ce que les deux résulats sont différents ?
Pourquoi je ne trouve pas exp(x) (x+1) avec la 1ere méthode ?
Merci à tous les courageux qui vont répondre
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Alors en effet tu peux dire qu'il s'agit d'une composée de fonction continue donc continue par composition.
Ou si ca te fait plaisir de calculer le nombre dérivé , tu peut faire ta formule :
(f(a+h)-f(a))/h = ((a+h)exp(a+h)-a.exp(a))/h
= (a.exp(a+h)+h.exp(a+h)-a.exp(a))/h
= exp(a+h) + (a.exp(a)*(1-exp(h))/h
Dont la limite quan h -->0 en a=0 est bien :
exp(0) + 0 =1
Tu trouve bien le meme résultat que ta dérivée : (x+1) exp (x) quand x=0 ca vaut 1*exp(0)=1*1=1
Mais ca ne répond en rien a la question de ton exercice parce que tu prouve seulement qu'elle est dérivable en 0 et pas partout. Il faut faire cette methode seulement lorsqu'il y a un point qui pose probleme , par exemple 1/x pas défini en 0 donc il faut faire l'étude en 0.
Et ensuite si la limite de (f(a+h)-f(a))/h est réelle c'est a dire pas l'infini , quand h-->0 et quand a vaut la valeur qui pose probleme , alors la fonction est dérivable.
Voila j'espere avoir répondu a ta question.
Ou si ca te fait plaisir de calculer le nombre dérivé , tu peut faire ta formule :
(f(a+h)-f(a))/h = ((a+h)exp(a+h)-a.exp(a))/h
= (a.exp(a+h)+h.exp(a+h)-a.exp(a))/h
= exp(a+h) + (a.exp(a)*(1-exp(h))/h
Dont la limite quan h -->0 en a=0 est bien :
exp(0) + 0 =1
Tu trouve bien le meme résultat que ta dérivée : (x+1) exp (x) quand x=0 ca vaut 1*exp(0)=1*1=1
Mais ca ne répond en rien a la question de ton exercice parce que tu prouve seulement qu'elle est dérivable en 0 et pas partout. Il faut faire cette methode seulement lorsqu'il y a un point qui pose probleme , par exemple 1/x pas défini en 0 donc il faut faire l'étude en 0.
Et ensuite si la limite de (f(a+h)-f(a))/h est réelle c'est a dire pas l'infini , quand h-->0 et quand a vaut la valeur qui pose probleme , alors la fonction est dérivable.
Voila j'espere avoir répondu a ta question.
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