Exercices Maths
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjour,
Matière / Niveau: Maths (LM120)
Exercie 1: Soient a,b appartiennent a C (ensemble des complexes) tels que |a|=|b|=|a+b|=1. Montrer que a^3 =b^3
Merci de votre aide!
Matière / Niveau: Maths (LM120)
Exercie 1: Soient a,b appartiennent a C (ensemble des complexes) tels que |a|=|b|=|a+b|=1. Montrer que a^3 =b^3
Merci de votre aide!
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L'exercie 1 je seche totalement
Pour l'exercice 2, la 1ere question je pense qu'on doit se servir de la formule de moivre qui dit :
(cos(x)+isin(x))^n = cos(nx)+isin(nx)
ensuite j'ai pensé a remplacer le 1 par cos(2x)+2sin²(x)
mais apres je n'arrive plus a avancer...
pour la question 2, je pensais poser p(z) = (z-1)(1+z+...+z^n)
=z^(n+1) -1
je pensais dire que p(z) etait la somme jusqu'a n de (z- Exp(i2kpi/n+1))
puis apres remplacer le k mais je vois pas trop par quoi en fait
je suis perdue :s
Pour l'exercice 2, la 1ere question je pense qu'on doit se servir de la formule de moivre qui dit :
(cos(x)+isin(x))^n = cos(nx)+isin(nx)
ensuite j'ai pensé a remplacer le 1 par cos(2x)+2sin²(x)
mais apres je n'arrive plus a avancer...
pour la question 2, je pensais poser p(z) = (z-1)(1+z+...+z^n)
=z^(n+1) -1
je pensais dire que p(z) etait la somme jusqu'a n de (z- Exp(i2kpi/n+1))
puis apres remplacer le k mais je vois pas trop par quoi en fait
je suis perdue :s
Pour le 1 :
Ecris a et b sous leur forme exponentielle.
Ecris a+b et utilise l'arc moitié pour faire apparaitre un cosinus multiplié par une exponentielle.
Pour plus de facilité, traite dans la suite les 2 cas distinctement : le cos est positif, le cos est négatif. Utilise ta condition |a+b|=1 pour les 2 cas et faire apparaitre une relation entre les 2 arguments.
Elève a et b au cube dans les 2 cas et tu devrais pouvoir simplifier pour obtenir l'égalité.
Il y a peut être une méthode plus simple, mais celle là marche ^^
Le 2.1 je dirai au pif une récurrence.
Ecris a et b sous leur forme exponentielle.
Ecris a+b et utilise l'arc moitié pour faire apparaitre un cosinus multiplié par une exponentielle.
Pour plus de facilité, traite dans la suite les 2 cas distinctement : le cos est positif, le cos est négatif. Utilise ta condition |a+b|=1 pour les 2 cas et faire apparaitre une relation entre les 2 arguments.
Elève a et b au cube dans les 2 cas et tu devrais pouvoir simplifier pour obtenir l'égalité.
Il y a peut être une méthode plus simple, mais celle là marche ^^
Le 2.1 je dirai au pif une récurrence.
Salut !
1- L'énoncé se traduit par :
|x|=1 et |1+x|=1 en posant x=a/b...Il faut donc montrer que x^3=1.
Il est clair que x*x\ = 1 (\ signifie conjugué)
|1+x|² = 1 = (1+x)*(1+x\) = 1+xx\ +x+x\ = 1 donc x+x\= -1 donc Re(x)= -1/2
x est de module 1 donc il est clair que x=exp(i*2*Pi/3) (voir petite précision tout en bas) et le calcul de x^3 donne 1... donc a^3=b^3
2-
1
Il est clair qu'il faudra utiliser une série géométrique en posant cos(x)+i*sin(x) = e^(ix) (comme ça la somme géométrique sera facile à calculer)
2
Somme géométrique à calculer bêtement
3
Cn^0+Cn^1*z+...+(Cn^n)(Z^n) = (1+z)^n et tu remplaceras l'écriture de 1+z sous la forme module*exp(i*argument)
4
Remarque que c'est la partie réelle du calcul précédent...
N'hésite pas si tu as des questions
EDIT : Petite correction dans l'exo 1
"Il est clair que x=e^(i*2pi/3)" à remplacer par "Il est clair que x=e^(i*2pi/3) ou x=e^(-2*i*Pi/3)"
Mais ça ne change en rien la conclusion
1- L'énoncé se traduit par :
|x|=1 et |1+x|=1 en posant x=a/b...Il faut donc montrer que x^3=1.
Il est clair que x*x\ = 1 (\ signifie conjugué)
|1+x|² = 1 = (1+x)*(1+x\) = 1+xx\ +x+x\ = 1 donc x+x\= -1 donc Re(x)= -1/2
x est de module 1 donc il est clair que x=exp(i*2*Pi/3) (voir petite précision tout en bas) et le calcul de x^3 donne 1... donc a^3=b^3
2-
1
Il est clair qu'il faudra utiliser une série géométrique en posant cos(x)+i*sin(x) = e^(ix) (comme ça la somme géométrique sera facile à calculer)
2
Somme géométrique à calculer bêtement
3
Cn^0+Cn^1*z+...+(Cn^n)(Z^n) = (1+z)^n et tu remplaceras l'écriture de 1+z sous la forme module*exp(i*argument)
4
Remarque que c'est la partie réelle du calcul précédent...
N'hésite pas si tu as des questions
EDIT : Petite correction dans l'exo 1
"Il est clair que x=e^(i*2pi/3)" à remplacer par "Il est clair que x=e^(i*2pi/3) ou x=e^(-2*i*Pi/3)"
Mais ça ne change en rien la conclusion
Citation :
non en fait jai choisi e au pif ce n'est qu'une notation jaurai pu prendre a ou b ou t ou un une lettre grecque peu importe...Pourquoi dis tu cela ? La lettre 'e' ne me perturbe pas (après on peut confondre avec le e^x = exp(x) mais bon...)...enfin ce n'est pas du tout le sens de mon post précédent...
Citation :
mais il faut preciser langle, le rapport le centre non ?C'est exact, mais vue la facilité de la question, je te laisse chercher : c'est du cours.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Similitude_(g%C3%A9om%C3%A9trie)
Formule du binôme de Newton...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_...
Avec x=1 et y=z
Ca aussi ça te servira pour le bac ! Retiens le !
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_...
Avec x=1 et y=z
Ca aussi ça te servira pour le bac ! Retiens le !
Au temps pour moi.
Si tu es en 1ère année, je pense qu'on peut considérer que tu as encore un niveau bac...Ton niveau 1ère année tu ne l'auras qu'en juin
.
Si tu as d'autres pbs tu peux revenir les poster ici, moi ça me fait refaire un peu de maths vu que j'étudie en méca/élec, donc c'est pas un mal.
Si tu es en 1ère année, je pense qu'on peut considérer que tu as encore un niveau bac...Ton niveau 1ère année tu ne l'auras qu'en juin
.Si tu as d'autres pbs tu peux revenir les poster ici, moi ça me fait refaire un peu de maths vu que j'étudie en méca/élec, donc c'est pas un mal.
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