montrer que racine de 15 est un nombre irrationnel

bjr j'aurais besoin d'aide pour montrer que racine de 15 est un nombre irrationnel.
merci d'avance

Bonjour,

- Il faut raisonner par l'absurde
Supposons que sqrt(15) est rationnel alors il existe p et q 2 entiers premiers entre eux tels que sqrt(15)=p/q
- En élevant au carré on obtient 15=p²/q² donc p²=15*q²
Donc 3 divise p² et 5 divise p² et comme p² est un carré, les puissances des entiers premiers qui le décomposent sont forcément paires donc au final 9 divise p² ainsi que 25. Au final 225(=9*25) divise p² donc 15 divise p :
225*r²=15*q² donc q²=15*r² où r est un entier.

- Par le même raisonnement on montre que 15 divise q

- Finalement la fraction p/q n'est pas irréductible (on peut simplifier par 15) ce qui est absurde !

Donc sqrt(15) n'est pas rationnel.

PS : j'ai répondu entièrement à la question car je pense qu'un lycéen n'ayant pas déjà vu ce genre de démo (de l'arithmétique) va galérer un sacré moment avant de trouver.

merci beaucoup!!!

nan en fait j'ai pas compris... du moins g pas compris se passage la:
les puissances des entiers premiers qui le décomposent sont forcément paires donc au final 9 divise p² ainsi que 25.

Ce résultat est intuitif, et il se démontre aisément

Soit n² le carré d'un entier n

Alors vu que n=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak il est évident que n²=p1^(2a1)*...*pk^(2ak) donc la décomposition en facteurs premiers n'admet que des puissances paires (car 2a1,...,2ak sont des nombres évidemment pairs). Au final le carré d'un entier n'admet dans sa décomposition que des nombres élevés à une puissance paire.

- Dans notre cas, vu que 3*5 divise p² alors 3²*5²=225 divise p² donc p²=225*t (on n'est pas obligé de mettre que t=un carré d'un entier)