Dm maths a l'aide ^^

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Enoncé faux !!

P(x)=(x-2)(x-1/2)=x² - 5/2*x+1 et pourtant 2 ne divise pas 1.

Je ne vois pas d'ou vien le 2 desolé. Prends-tu une racine entiere?

2 est une racine de ce polynôme tout comme 1/2...
2 est une racine entière. Tu n'as jamais précisé que toutes les racines doivent être entières.

"Montrer que toute racine entiere de p(x) , non nulle, divise a0 "

J'ai pas suivis :s

Bah l'énoncé est faux...cf mon contre-exemple...

A moins que l'énoncé suppose que P(x) n'a que des racines entières...mais tu ne l'as pas précisé

C'est tout ce que j'ai dans l'enoncé.
Personellement ce que j'avai compris c'est que ce polynome admettais des solutions mais qu'on ne prennais en compte que les solution etant un carré d'un entier relatif pour resoudre cette division. J'ai trouver sur un site les lois de divisibilité des polynomes. il y a pas moyen de factoriser en utilisant

A( x) = B( x) * Q( x) + R( x) avec R= 0

et apres pour la divisibilite avec
A divise B et A divise C donc A divise uB + vC??

Ton énoncé dit :
"Si r est une racine entière, prouvez qu'elle divise le coefficient a0"

Je démontre que c'est faux puisque mon polynôme admet 2 pour racine qui est une racine entière et pourtant 2 ne divise pas a0.

- Ce que je demande, c'est si l'énoncé ne stipule pas que les coefficients de P ou les racines de P sont entières ce qui changerait toute la donne.


Un contre exemple encore plus bête :
1/4(x-2)² admet 2 pour solution et pourtant 2 ne divise pas 1 (car a0=1 si tu developpes)

Et bien la donne change escuse moi. Marqué en tout petit tout a droite.

a appartient a Z

Si P(x) admet une racine entière r :
- P(x)=(x-r)*Q(x) où Q(x) est un polynome à coefficients dans Z, notons b0 son coefficient constant .
Finalement il est évident que a0=-r*b0 où b0 est un entier donc r divise a0.

Je vais méditer la dessus alors.

Comment prouver que ce Q(x) existe avec des coeficients dans Z? est-ce une certitude?

Dois-je exprimer Q(x) ou le laisser sous cette forme? et pourquoi laisser x dans la paranthèse et non pas mettre un simple (-r)?

Merci pour tes reponses

Ca n'a aucun intérêt de l'exprimer : il suffit juste de montrer que l'un de ces coefficients est entier (donc tout calculer serait une perte de temps inutile)


C'est une conséquence du fait que r est une racine de P(x) : Si r est une racine de P(x) alors (x-r) divise P(x) donc autrement dit, on a le droit d'écrire que P(x)=(x-r)*Q(x) où Q(x) est un polynôme de degrés n-1.



Le coefficient qui nous intéresse est le coefficient b0 de Q(x) (les autres ne nous intéressent pas, donc on aura gagné dés lors qu'on aura montré que b0 est dans Z)

- En développant (x-r)Q(x) on voit que (en posant Q(x)=b(n-1)x^(n-1)+...+b1*x+b0)
a(n)=b(n-1)
a(n-1) = -r*b(n-1)+b(n-2)
(etc...)
a2= -r*b2+b1
a1= -r*b1+b0
a0= -r*b0

Bref, il est clair que vu que a(n) est entier alors b(n-1) est entier et comme b(n-1) est entier alors b(n-2) est entier etc...de proche en proche on en déduit que b0 est entier.