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Merci de m'aider .

Devoir de mathématiques

EXERCICE 1 Irrationalité de Racine de 3

1 °

Soit a un entier naturel ; si on effectue la division euclidienne de a par 3 , alors il y'a trois restes possibles : 0 ; 1 et 2 .
Ainsi , selon le cas , il ya trois possibilités pour l'écriture de a :
a=3p ou a=3p+1 ou a=3p+2 , p étant un entier naturel

a ) Montrer que si 3 divise a , alors 3 divise a² .
b ) Montrer que si 1 est le reste de la division de a par 3 , alors 3 ne divise pas a² .
c ) Montrer que si 2 est le reste de la division de a par 3 , alors 3 ne divise pas a² .

On en déduit alors qu'un nombre est divisible par 3 si , et seulement si son carré est divisible par 3 .

2 °

Le mode de raisonnement utilisé est un raisonnement par l'absurde : partant d'une hypothése contredisant le résultat à prouver , une suite de déductions logiques conduisent à une impossibilité . L'hypothése de départ est donc fausse .

On fait donc l'hypothese suivante : Racine de 3 est un nombre rationnel Racine de 3 peut donc s'ecrire sous la forme d'une fraction irréductible a ou a et b sont
--
b
deux entiers naturels .

a ) Considérer ( a ) ² pour prouver que a², puis a sont divisibles par 3 .
--
b
b ) On peut donc poser a = 3a' , a' étant un entier naturel . Montrer alors que b² = 3a' ² ; en deduire que b est divisible par 3 .

c ) Mettre alors en évidence une contraction avec l'hypothese et conclure .


EXERCICE 2

Resoudre dans R , les équations suivantes ;

1 ) -2x + 1 - 5 x x + 1 = 1 - 2 - 3x
---------- -------- ---------
8 6 2
2 ) ( x + 1 ) ² + ( x - 1 ) ² = 6 DEVELOPPER

3 ) ( x + 1 ) ² = 4 ( x - 1 ) ² FACTORISER IDENTITES REMARQUABLES
--- --
3 3

4 ) 1 + 1 = 2 DIFFERENTS DE 0 ET -1
--- -----
x x+ 1