Récurrence niveau prépa BCPST 1ere année
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjour,
Je viens ici pour demander de l'aide et essayer de trouver quelqu'un qui puisse me décoincer dans mon problème.
Cela fait 1 heure que je réfléchis dessus et je bloque je ne sais pas par où commencer ni comment faire??????
Soit la suite ( pn) n> ou égale à 1 définie par récurrence par:
p1=0 p2= 1/2 pn= (1 - 1/n) pn-1 + 1/ n pn-2
On définit alors la suite ( Un) n>ou égale 2 de terme général:
Un= pn - pn-1
1) montrer que pour tout n>ou égale à 1 on a : pn appartient [0;1[
J'ai essayé de faire un encadrement mais je n'arrive à rien parce que je ne sais pas ce que vaut pn-1 et pn-2????
2) Exprimer la somme de k=2 à n des Uk en fonction de pn
Moi j'aurais dit que c'était somme de k=2 à n de pn - pn-1
Mais ca me parait trop simple
3) pour tout n>ou égale à 3 trouver une relation entre Un et Un-1
La j'ai écrit Un= pn - pn-1
Un-1 = pn-1 - pn-2
Mais je fais quoi avec ca???
4) En déduire le terme général de la suite (Un)
S'il vous plait aider moi!!!!!!
Merci d'avance
Je viens ici pour demander de l'aide et essayer de trouver quelqu'un qui puisse me décoincer dans mon problème.
Cela fait 1 heure que je réfléchis dessus et je bloque je ne sais pas par où commencer ni comment faire??????
Soit la suite ( pn) n> ou égale à 1 définie par récurrence par:
p1=0 p2= 1/2 pn= (1 - 1/n) pn-1 + 1/ n pn-2
On définit alors la suite ( Un) n>ou égale 2 de terme général:
Un= pn - pn-1
1) montrer que pour tout n>ou égale à 1 on a : pn appartient [0;1[
J'ai essayé de faire un encadrement mais je n'arrive à rien parce que je ne sais pas ce que vaut pn-1 et pn-2????
2) Exprimer la somme de k=2 à n des Uk en fonction de pn
Moi j'aurais dit que c'était somme de k=2 à n de pn - pn-1
Mais ca me parait trop simple
3) pour tout n>ou égale à 3 trouver une relation entre Un et Un-1
La j'ai écrit Un= pn - pn-1
Un-1 = pn-1 - pn-2
Mais je fais quoi avec ca???
4) En déduire le terme général de la suite (Un)
S'il vous plait aider moi!!!!!!
Merci d'avance
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Bonsoir,
1- Fais une récurrence double !
Suppose que c'est vrai pour pn-1 et pn-2 et montrer que ça l'est forcément pour pn.
pn = (1-1/n)pn-1 + 1/n pn-2 <= 1 (en disant que pn-1 et pn-2 <=1)
Idem pour zero...sauf qu'il faut minorer....
2- Si tu ne vois pas l'astuce écris cette somme sur un papier pour 4 ou 5 termes...tu devrais vite comprendre le truc.
3-Quand tu as fait la somme tu as donc montré que :
somme jusqu'a n des Uk = pn
somme jusqu'à n-1 des Uk = pn-1
somme jusqu'a n-2 des Uk = pn-2
Maintenant on a une relation entre les sommes en utilisant la relation de récurrence (énoncé) vérifiée par pn....il se trouve que cette relation se simplifie très bien...Et ça devrait te donner un lien entre Un et Un-1...
4- Après je pense que c'est classique (je n'ai pas fait de calculs donc je ne peux pas t'aider)
Bon courage !
1- Fais une récurrence double !
Suppose que c'est vrai pour pn-1 et pn-2 et montrer que ça l'est forcément pour pn.
pn = (1-1/n)pn-1 + 1/n pn-2 <= 1 (en disant que pn-1 et pn-2 <=1)
Idem pour zero...sauf qu'il faut minorer....
2- Si tu ne vois pas l'astuce écris cette somme sur un papier pour 4 ou 5 termes...tu devrais vite comprendre le truc.
3-Quand tu as fait la somme tu as donc montré que :
somme jusqu'a n des Uk = pn
somme jusqu'à n-1 des Uk = pn-1
somme jusqu'a n-2 des Uk = pn-2
Maintenant on a une relation entre les sommes en utilisant la relation de récurrence (énoncé) vérifiée par pn....il se trouve que cette relation se simplifie très bien...Et ça devrait te donner un lien entre Un et Un-1...
4- Après je pense que c'est classique (je n'ai pas fait de calculs donc je ne peux pas t'aider)
Bon courage !
Citation :
Si j'ai bien compris pour la première question je dois faire une récurrence avec initialisation développement et ccl non???Oui
Citation :
ou je peux juste marquer que pn< à1 car pn-1 et pn-2< 1??? A condition de dire pourquoi !!!
Pour l'hérédité :
- Supposons que pn-1<=1 et pn-2<=1 donc
pn=(1-1/n)pn-1 + 1/n*pn-2 <= (1-1/n)*1 + 1/n*1=1 donc pn<=1 CQFD
Citation :
oui mais sa dois etre < 1 pas égale!!!!! <= veut dire inférieur ou égal (à défaut de trouver mieux)
Remplace donc mes '<=' par des '<'
Citation :
mais apres pour la 3 jai pas compris comment je pouvais trouver une relation entre un et un-1 L'énoncé te donne la relation entre pn, pn-1 et pn-2....
Remplace simplement pn par somme (Uk, k allant de 2 à n)
même travail pour pn-1 et pn-2
Ensuite simplifie cette relation car plein de termes vont s'éliminer...
PS : tu es bien en prépa ?
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