Équation Différentiel ma bête noire

Bonjour,

- Tu as à résoudre une équation différentielle linéaire avec second membre (le 2, mais ça pourrait aussi bien être une fonction dépendant de x)

- L'idée dans une résolution d'EDO linéaire (EDO = Equation Différentielle Oridinaire) est de résoudre une EDO "qui lui ressemble" et qui est plus simple à résoudre : c'est à dire l'EDO sans le second membre (y'+y = 0)
Normalement on sait très bien résoudre de telles EDO (solutions exponentielles ets...)
Ensuite, on essaie de trouver une solution particulière de l'EDO : y'+y = 2
Il existe plusieurs techniques pour cela, car si le second membre est "compliqué" il ce n'est pas du tout facile.
L'une des technique, la plus simple, est de trouver une solution particulière "intuitivement" : e effet dans y'+y=2, il est évident que la fonction y=2 (la fonction constante égale à 2 sur IR) est une solution....
- Une fois trouvée la solution de l'EDO sans second membre, et la solution particulière, on a un théorème qui nous assure que toutes les solutions sont construites comme la somme de la solution de l'EDO sans second membre et de la solution particulière.

Donc ici : y(x) = K*e^(-x) + 2

Je te donne un exemple volontairement plus compliqué :

Soit à résoudre y'+y = e^(x)
EDO sans second membre : y'+y = 0
Solution de l'EDO sns second membre : K*e^(-x)

Cherchons une solution particulière :
Il est facile de constater que y0(x) = 1/2*e^(x) est une solution particulière de l'EDO de départ (vérifie si tu veux)

Bilan : la solution au problème est y(x) = K*e^(-x) + 1/2*e^(x)


Au lycée, je pense que tes seconds membres seront toujours des constantes, donc la solution particulière à chercher sera pratiquement toujours une constante (je dis pratiquement, car il y a des exceptions, avec lesquelles on ne t'embêtera pas je pense).

J'ai compris a peu près ce que tu as voulu m'expliquer. Merci  
Mais dans une résolution d'équation un prof de maths m'a dit tout à l'heure que je n'avais même pas besoin de chercher de cas particulier. Que la résolution s'arrêtait a la 1ère étape.

J'aimerais savoir en fait a quoi sert la recherche de cas particulier.

Et comment fait on. Parce que personnellement je ne comprend pas du tout comment tu as fait pour trouver le :

y0(x) = 1/2*e^(x)


Pourrais tu m'éclairer ?! ^^

Ca saute aux yeux !

Evidemment tu n'as pas la même expérience que moi en maths, il existe des techniques pour trouver une solution particulière : méthode dite de "variation de la constante" mais qui n'est pas au programme de TS.

Dans ton cas, les seules solutions particulières que tu auras à chercher seront des constantes : mon exemple était comme je l'ai dit un peu plus compliqué. Donc qud tu tomberas sur une EDO de type y'+k*y = a (a est une constante), il faudra chercher une solution particulière constante (ici a/k en est une qui marche)!;

A la fin de la 1ere étape, on a résolu l'équation sans second membre ce qui n'est pas résoudre le pb en entier. Une fois trouvées les solutions de l'EDO sns second membre, il faut juste trouver une solution particulière de l'EDO avec second membre
Un "théorème" te dit ensuite que les solutions sont décrites comme une somme de la solution de l'EDO sns second membre + une solution particulière de l'EDO avec second membre.
Ne me demande pas de justifications de ceci, car je risque de t'emmener dans des considérations qui ne sont pas du programme de TS (structure d'espace affine des solution dont la direction est le noyau d'un endomorphisme....rien de bien joli)

Evidemment, si ton EDO est de la forme y' + k*y = 0 : seule la 1ère étape suffit puisqu'il n'y a déjà pas de second membre.