exercice avec équations diff TS
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Coucou
J'ai un exerice sur les équations différentielles que je n'arrive pas à résoudre
(1) y' -2 y = x e^x
1) Résoudre l'équation différentielle (2)
y' - 2 y = 0
où y désigne une fonction dérivable sur R
Moi j'ai dis que l'ensemble des solutions c'était f(x) = ke^(2x)
2) Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par:
u(x)= (ax+b)e^x
a) Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation (1)
Là j'ai dérivé u(x) pour pouvoir calculer u'(x) - 2 u(x) et je voulais obtenir x e^x mais je n'arrive pas je ne sais pas comment trouver a et b
b) >montrer que v est solution de l'équation (2) si et seulement si u+v est solution de (1)
Déjà je ne sais même pas qui est v?????
c) En déduire l'emsemble des solutions de (1)
3) Déterminer la solution de l'équation (1) qui s'annule en 0.
Pourriez vous m'aider svp je suis vraiment bloquée!!!!
Mici![:)]( ":)")
J'ai un exerice sur les équations différentielles que je n'arrive pas à résoudre
(1) y' -2 y = x e^x
1) Résoudre l'équation différentielle (2)
y' - 2 y = 0
où y désigne une fonction dérivable sur R
Moi j'ai dis que l'ensemble des solutions c'était f(x) = ke^(2x)
2) Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par:
u(x)= (ax+b)e^x
a) Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation (1)
Là j'ai dérivé u(x) pour pouvoir calculer u'(x) - 2 u(x) et je voulais obtenir x e^x mais je n'arrive pas je ne sais pas comment trouver a et b
b) >montrer que v est solution de l'équation (2) si et seulement si u+v est solution de (1)
Déjà je ne sais même pas qui est v?????
c) En déduire l'emsemble des solutions de (1)
3) Déterminer la solution de l'équation (1) qui s'annule en 0.
Pourriez vous m'aider svp je suis vraiment bloquée!!!!
Mici
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2°) L'idée est de calculer u' - 2u et de trouver des conditions sur a et b pour que u'(x) - 2u(x)=x*e^x pour tout x dans IR
b) Soit v une solution de (2)
alors si on injecte u+v dans (1) on constate que ca marche
Si u+v est une solution de (1), alors en écrivant v=(u+v)-u qu'on injecte dans l'equation (2) on constate que ca marche
c)...ca devrait aller tout seul
3) Il suffit de trouver k...
b) Soit v une solution de (2)
alors si on injecte u+v dans (1) on constate que ca marche
Si u+v est une solution de (1), alors en écrivant v=(u+v)-u qu'on injecte dans l'equation (2) on constate que ca marche
c)...ca devrait aller tout seul
3) Il suffit de trouver k...
Citation :
u'(x) - 2 u(x) je trouve e^x ( a-b - ax) Il faut donc que pour tout x dans IR on ait :
e^x ( a-b - ax) = x*e^x
C'est une égalité entre 2 fonction et pas entre 2 réels
Quelles sont alors les conditions sur a et b ?
b) c'est y !!!
On parle d'application...Les solutions d'une EDO sont des fonctions et pas des réels, donc u,v, u+v sont des fonctions.
Ensuite tu fais une identification par rapport à la solution que tu avais trouvé dans ta première question.
Comme te le dis abel_b:
e^x ( a-b - ax) = x*e^x, c'est l'identification que tu dois faire.
Sinon pour la 2/ b, il faut que tu supposes v solution de ton (2)
donc :
v' - 2v = 0
Or tu sais que u est solution de (1) donc :
u' - 2u = xe^x
ensuite tu fais l'addition des 2.
Tu pourras en déduire que u+v est solution de (1)
Ensuite il faut faire la démonstration d'un autre côté.
C'est à dire qu'il faut que tu supposes que u+v est solution de (1), et tu sais encore que u est solution de (1), tu soustrais les 2 et tu en déduiras que v est solution de (2).
Et tu pourras conclure en disant que v est solution de (2) si et seulement si u+v est solution de (1).
Comme te le dis abel_b:
e^x ( a-b - ax) = x*e^x, c'est l'identification que tu dois faire.
Sinon pour la 2/ b, il faut que tu supposes v solution de ton (2)
donc :
v' - 2v = 0
Or tu sais que u est solution de (1) donc :
u' - 2u = xe^x
ensuite tu fais l'addition des 2.
Tu pourras en déduire que u+v est solution de (1)
Ensuite il faut faire la démonstration d'un autre côté.
C'est à dire qu'il faut que tu supposes que u+v est solution de (1), et tu sais encore que u est solution de (1), tu soustrais les 2 et tu en déduiras que v est solution de (2).
Et tu pourras conclure en disant que v est solution de (2) si et seulement si u+v est solution de (1).
Cette égalité doit être vraie pour tout x
Donc en particulier pour x=0 et pour x=1
Cela te donne 2 équations et tu trouves facilement a et b
Ne perds pas de vue que la relation sur laquelle tu travailles est une équation fonctionnelle dont a et b sont des coefficients. Il faut donc que la fonction a gauche soit égale à la fonction a droite en tous points !!!
On voit bien que les seuls choix possibles sont a=-1 et b=-1 (mais il faut le prouver rigoureusement, identifier n'est pas un argument, ca permet juste de trouver une seule solution)
Donc en particulier pour x=0 et pour x=1
Cela te donne 2 équations et tu trouves facilement a et b
Ne perds pas de vue que la relation sur laquelle tu travailles est une équation fonctionnelle dont a et b sont des coefficients. Il faut donc que la fonction a gauche soit égale à la fonction a droite en tous points !!!
On voit bien que les seuls choix possibles sont a=-1 et b=-1 (mais il faut le prouver rigoureusement, identifier n'est pas un argument, ca permet juste de trouver une seule solution)
Si justement tu as le droit de le faire car on peut même le faire pour n'importe quel réel (on prend 0 et 1 car ils sont pratiques)...mais prendre 0 et 1 ne te garantit pas que ca va marcher pour tout x, autrement dit, il faut faire une réciproque pour être rigoureux...
Soit x un reel quelconque, on se pose la question de savoir si l'égalité x= a-b-ax est tout le temps vérifiée...tu as dû trouver a=b=-1 donc si on remplace a et b par les valeurs trouvées on tombe sur l'égalité équivalente : x-x=0...est ce que ceci est tout le temps vrai (pour tout x)...on voit bien que oui...
Soit x un reel quelconque, on se pose la question de savoir si l'égalité x= a-b-ax est tout le temps vérifiée...tu as dû trouver a=b=-1 donc si on remplace a et b par les valeurs trouvées on tombe sur l'égalité équivalente : x-x=0...est ce que ceci est tout le temps vrai (pour tout x)...on voit bien que oui...
Je suis désolé de te déranger encore une fois mais je n'arrive pas à trouver les solutions de (1)
Moi j'ai dis on sait que v = solution de (2)
Or les solutions de (2) sont les fonctions définies sur R par f(x)= k e^(ax)
Mais apres je suis bloquée parce que je sais aussi que u+v = solution de 1
je remplace et j'obtiens (-x-1)e^x + ke^(ax) = solutions de 1
Mais là je ne sait plus quoi faire????
Pourriez vous m'aider???
Moi j'ai dis on sait que v = solution de (2)
Or les solutions de (2) sont les fonctions définies sur R par f(x)= k e^(ax)
Mais apres je suis bloquée parce que je sais aussi que u+v = solution de 1
je remplace et j'obtiens (-x-1)e^x + ke^(ax) = solutions de 1
Mais là je ne sait plus quoi faire????
Pourriez vous m'aider???
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