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Un exo défi

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour à tous,

J'ai récupéré pas mal d'exo marrants, je vous en fais profiter en m'efforçant de juger au mieux la difficulté en mettant des * :D . (Je vous les mettrai petit à petit).


-----------------------------------------------------------------------------------
**
- Soit un disque de rayon 1
On place sept points dans ce disque, avec la contrainte suivante : la distance entre 2 points doit être supérieure ou égale à 1

Prouver que l'un des points est le centre du disque.
------------------------------------------------------------------------------------
*
- Si on prend 37 entiers quelconques, montrer que l'on peut toujours en choisir 7 qui sont tels que leur somme est un multiple de 7
-----------------------------------------------------------------------------------
**
On considère 13 réels deux à deux distincts.
Prouver qu'on peut tjs en choisir 2 de sorte à avoir :
0 < (a-b)/(1+ab) <= 2 - racine(3)

(Je donne une indication car au lycée on ne connait peut etre pas ça :
tan(x-y) = (tan(x)-tan(y))/(1+tan(x)tan(y))
------------------------------------------------------------------------------

Je pense que le 2e est le plus facile (peut etre le 3e car je donne l'indication)

La suite à venir plus tard...



Bon divertissement.;)

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Bonjour !!!

Je rajoute quelques exos !!! (vu que mon sujet a plein de succès) :D 
Si certains veulent des indications, ne pas hésiter !

-------------------------------------------------------------------------------------------
Soit d un entier différent de 2,5,13

Montrer que dans l'ensemble {2,5,13,d} on peut trouver 2 entiers a et b tels que ab-1 n'est pas un carré parfait

-----------------------------------------------------------------------------------------

Donner le chiffre des dizaines de millier du nombre

. 5
. 5
. 5
. 5
5


(5 puissance 5 puissance 5 ....)

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pour l'exo 1:
Découpons le cercle (de rayon 1) en 6 parts égales.
Il y a donc une part contenant 2 points.
Supposons alors qu'aucun de ces 2 points n'est au centre du cercle,
la distance entre ces 2 points est donc < 1.
Ce qui est en contradiction avec
"la distance entre 2 points doit être supérieure ou égale à 1"

conclusion:
l'un des 7 points est forcément centre du disque.

Citation :
- Si on prend 37 entiers quelconques, montrer que l'on peut toujours en choisir 7 qui sont tels que leur somme est un multiple de 7

ça serait pas 37 entiers consécutifs ? parce que sinon je vois pas l'interêt de choisir au hasard 7 parmis 37 pris au hasard

Citation :
Soit d un entier différent de 2,5,13

Montrer que dans l'ensemble {2,5,13,d} on peut trouver 2 entiers a et b tels que ab-1 n'est pas un carré parfait

pour a=13 et b=d=3 on a ab-1=38 qui n'est pas un carré parfait, bon j'ai peut être pas compris l'énoncé :p 

abel_b a dit :


**
On considère 13 réels deux à deux distincts.
Prouver qu'on peut tjs en choisir 2 de sorte à avoir :
0 < (a-b)/(1+ab) <= 2 - racine(3)

(Je donne une indication car au lycée on ne connait peut etre pas ça :
tan(x-y) = (tan(x)-tan(y))/(1+tan(x)tan(y))



soient a et b les deus réels choisis parmis les 13
On peut alors poser:
a=tan(x)
b=tan(y)
avec x et y appartenant à ]-Pi/2 , Pi/2[
on a donc,
(a-b)/(1+ab)=tan(x)-tan(y))/(1+tan(x)tan(y))=tan(x-y)

On cherche donc à avoir:
0 < tan(x-y) <= 2-racine(3)

* 0 < tan(x-y) implique 0 < x-y

* remarquons, au passage que tan(Pi/12)=2-racine(3)
on a alors
tan(x-y) <= 2-racine(3) implique x-y <= Pi/12

Pour résumer la situation, x-y appartient à ]0 , Pi/12]
or, x et y appartiennent à ]-Pi/2 , Pi/2[ (intervalle que l'on va appeler I )
I est un intervalle de longueur Pi, que nous allons donc subdiviser en 12 intervalles de longueur Pi/12
Or par hypothèse, on a choisi 13 réels 2 a 2 distincts appartenant à ces 12 subdivisions.
Il y a donc une subdivision contenant au moins deux réels.
Appelons alors x et y ces deux réels, avec x>y.

Il existe donc bien 2 réels x et y vérifiant :
0 < tan(x-y) <= 2-racine(3)

Et c'est avec joie et bonheur non dissimulé que nous pouvons dire qu'il est donc possible de choisir deux réels a et b parmis ces 13 tels que
0 < (a-b)/(1+ab) <= 2 - racine(3)




@skorh :

Bien vu ;) 



@Cart

Non les entiers sont quelconques : en gros si je choisis complètement au hasard 37 entiers, alors je peux toujours en trouver 7 dont la somme est un multiple de 7...reste à le démontrer ;) 

- Oui l'énoncé est mal compris : Je veux dire que quel que soit d, on peut toujours vérifier l'hypothèse...Ici tu as juste montré que c'était vrai pour d=3...Ca ne dit pas que c'est vrai pour d quelconque.

________________________________________________

Un autre petit pour la route (pas très dur) :

Soit l'ensemble des nombres :
{1,2,3,...,1002}

On fait l'action suivante : on choisi au hasard 2 nombres a et b, et on les remplace par b-a ou a-b (de sorte à rester positif)....on réitère le procédé jusqu'à qu'il n'y ait plus qu'un nombre toujours en choisissant arbitrairement les 2 nombres....

Montrer que le dernier nombre ne peut pas être 2.

_____________________________________________

@skorh : tu sembles avoir un esprit challenger :

Montrer qu'il n'existe aucune suite relle arithmétique qui contient 3 racines cubiques de nombres premiers distincts 2 à 2.

abel_b a dit :

*
- Si on prend 37 entiers quelconques, montrer que l'on peut toujours en choisir 7 qui sont tels que leur somme est un multiple de 7
La suite à venir plus tard...


Alors considérons deux cas:

* supposons qu'il existe 7 entiers dont les restes sont différents modulo 7:

appelons a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ces entiers
on a donc
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 congru à 0+1+2+3+4+5+6=21 modulo 7
or 21 est congru à 0 modulo 7
ainsi, 7 divise a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7

* supposons qu'il n'existe pas 7 entiers dont les restes sont différents modulo 7:

il y a donc 6 congruences possibles
rappelons qu'il y a 37 éléments (37=6*6+1)
il y a donc 7 entiers congru à un même chiffre (qu'on va appeler n) modulo 7
appelons a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ces entiers
on a donc
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 congru à 7n modulo 7
or 7n est congru à 0 modulo 7
ainsi, 7 divise a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7

voili voulou!

abel_b a dit :


Soit l'ensemble des nombres :
{1,2,3,...,1002}

On fait l'action suivante : on choisi au hasard 2 nombres a et b, et on les remplace par b-a ou a-b (de sorte à rester positif)....on réitère le procédé jusqu'à qu'il n'y ait plus qu'un nombre toujours en choisissant arbitrairement les 2 nombres....

Montrer que le dernier nombre ne peut pas être 2.



C'est parti!!!! youhou!!!!
Alors, faisons la somme de tous les éléments de cet ensemble:
S = (1002+1)*1002 / 2=502503
remarquons alors qu'à chaque opération, on retire à S:
-a-b+(b-a)=-2a
bref, on retire toujours un nombre pair. Ce qui ne changera pas la parité de S au fur et à mesure des opérations.
Or, 502503 est impair.
Ainsi, S demeurera toujours impair, ce qui interdit de finir avec un 2 à la fin!
CQFD!
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