math sup : développement limité !
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
bonjour a tous !
alors que je faisais mon DM tranquilou, j'arrive au 2e exo, et je me suis rendu compte que je n'avais pas compris la méthode pour déterminer le DL en a, différent de 0, dune composée de fonction, exemple :
le DL de f(x)=ln(cos(x)) en Pi/2 a l'ordre 3 ...
je ne demande pas le résultat (de toute façon, ce n'est pas le DL de mon DM ....) mais juste la démarche, car on a uniquement vu les DL en 0![:/]( ":/")
merci a ceux qui prendront le temps de m'expliquer.
alors que je faisais mon DM tranquilou, j'arrive au 2e exo, et je me suis rendu compte que je n'avais pas compris la méthode pour déterminer le DL en a, différent de 0, dune composée de fonction, exemple :
le DL de f(x)=ln(cos(x)) en Pi/2 a l'ordre 3 ...
je ne demande pas le résultat (de toute façon, ce n'est pas le DL de mon DM ....) mais juste la démarche, car on a uniquement vu les DL en 0
merci a ceux qui prendront le temps de m'expliquer.
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2 méthodes "classiques":
- Soit tu poses x=t+Pi/2 et tu fais un DL en 0 de f(t)
- Soit tu utilises directement la formule de Taylor
f(x)=f(Pi/2) + (x-Pi/2)f'(Pi/2) + ...+ o((x-Pi/2)^n)
En général, on fait cette méthode lorsque les dérivées sont faciles à calculer.
Dans ton cas, je pencherais pour la première méthode.
- Soit tu poses x=t+Pi/2 et tu fais un DL en 0 de f(t)
- Soit tu utilises directement la formule de Taylor
f(x)=f(Pi/2) + (x-Pi/2)f'(Pi/2) + ...+ o((x-Pi/2)^n)
En général, on fait cette méthode lorsque les dérivées sont faciles à calculer.
Dans ton cas, je pencherais pour la première méthode.
désolé abel, mais je bloque ...
j'ai réussi un DL, mais je me suis trompé dès cette 1ere étape (donc, jai fait correctement le mauvais DL -_- )
dans la DM, la fonction est : f(x)=sin(x)^sin(x), fair le DL en Pi/2 a l'ordre 4
donc je la transforme : f(x)= e^(sin(x)*ln(sin(x)))
je pose g(x) = e^(sin(Pi/2-x)*ln(sin(Pi/2-x))) = e^(cos(x)*ln(cos(x)))
donc, déterminer le DL de f en Pi/2 a l'ordre 4 revient a déterminer le DL de g en 0 a l'ordre 4 non ? enfin, c'est ce que je croyais et c'est ce que jai fait, mais d'apres ma calculette, c'est faux ^^
j'ai réussi un DL, mais je me suis trompé dès cette 1ere étape (donc, jai fait correctement le mauvais DL -_- )
dans la DM, la fonction est : f(x)=sin(x)^sin(x), fair le DL en Pi/2 a l'ordre 4
donc je la transforme : f(x)= e^(sin(x)*ln(sin(x)))
je pose g(x) = e^(sin(Pi/2-x)*ln(sin(Pi/2-x))) = e^(cos(x)*ln(cos(x)))
donc, déterminer le DL de f en Pi/2 a l'ordre 4 revient a déterminer le DL de g en 0 a l'ordre 4 non ? enfin, c'est ce que je croyais et c'est ce que jai fait, mais d'apres ma calculette, c'est faux ^^
Pour ne pas s'embrouiller, il vaut mieux écrire
f(x)= e^(sin(x)*ln(sin(x)))
Donc, on pose x=Pi/2-t, donc :
f(t)=e^cos(t)ln(cos(t))
on fait donc un DL en 0, et il vient :
f(t)=e^[(1-t²/2+o(t^2))*ln(1-t²/2+t^4/24+o(t^4))]...
f(t)=e^[(1-t²/2+o(t^2))*(-t²/2+t^4/24-t^4/4+o(t^4))] (à simplifier)
Ensuite, on développe tout ca (les termes intéressants), puis on fait un DL de exp au voisinage de 0 à l'ordre 2 (un ordre supérieur ne conduirait qu'à rajouter des termes d'ordre > 4 ce dont on n'a pas besoin)...
Ensuite, il faut remplacer t par (Pi/2-x)...je pense que tu as oublié de le faire car tu as appelé x les variables de f et g, ce qui n'est pas faux mathématiquement parlant, mais ce qui peut amener à faire des erreurs.
PS : Sauf besoin pr l'exo, ne t'amuse pas à développer les (Pi/2-x)^k, c'est bcp mieux comme ça.
f(x)= e^(sin(x)*ln(sin(x)))
Donc, on pose x=Pi/2-t, donc :
f(t)=e^cos(t)ln(cos(t))
on fait donc un DL en 0, et il vient :
f(t)=e^[(1-t²/2+o(t^2))*ln(1-t²/2+t^4/24+o(t^4))]...
f(t)=e^[(1-t²/2+o(t^2))*(-t²/2+t^4/24-t^4/4+o(t^4))] (à simplifier)
Ensuite, on développe tout ca (les termes intéressants), puis on fait un DL de exp au voisinage de 0 à l'ordre 2 (un ordre supérieur ne conduirait qu'à rajouter des termes d'ordre > 4 ce dont on n'a pas besoin)...
Ensuite, il faut remplacer t par (Pi/2-x)...je pense que tu as oublié de le faire car tu as appelé x les variables de f et g, ce qui n'est pas faux mathématiquement parlant, mais ce qui peut amener à faire des erreurs.
PS : Sauf besoin pr l'exo, ne t'amuse pas à développer les (Pi/2-x)^k, c'est bcp mieux comme ça.
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