math sup : développement limité !

bonjour a tous !

alors que je faisais mon DM tranquilou, j'arrive au 2e exo, et je me suis rendu compte que je n'avais pas compris la méthode pour déterminer le DL en a, différent de 0, dune composée de fonction, exemple :


le DL de f(x)=ln(cos(x)) en Pi/2 a l'ordre 3 ...

je ne demande pas le résultat (de toute façon, ce n'est pas le DL de mon DM ....) mais juste la démarche, car on a uniquement vu les DL en 0

merci a ceux qui prendront le temps de m'expliquer.

d'accord, donc je pose g(x) = ln(cos(x+Pi/2)).
j'avais commencer a faire cette méthode, mais je connais le DL de x->cos(x), mais pas de x->cos(x+Pi/2),
a moins que je prenne dans la formule du DL du cos avec "x=x+Pi/2" ?

ok merci abel_b pour lexplication !
heureusement que tes sur le forum lol

Pour ne pas s'embrouiller, il vaut mieux écrire

f(x)= e^(sin(x)*ln(sin(x)))

Donc, on pose x=Pi/2-t, donc :

f(t)=e^cos(t)ln(cos(t))

on fait donc un DL en 0, et il vient :

f(t)=e^[(1-t²/2+o(t^2))*ln(1-t²/2+t^4/24+o(t^4))]...

f(t)=e^[(1-t²/2+o(t^2))*(-t²/2+t^4/24-t^4/4+o(t^4))] (à simplifier)

Ensuite, on développe tout ca (les termes intéressants), puis on fait un DL de exp au voisinage de 0 à l'ordre 2 (un ordre supérieur ne conduirait qu'à rajouter des termes d'ordre > 4 ce dont on n'a pas besoin)...

Ensuite, il faut remplacer t par (Pi/2-x)...je pense que tu as oublié de le faire car tu as appelé x les variables de f et g, ce qui n'est pas faux mathématiquement parlant, mais ce qui peut amener à faire des erreurs.

PS : Sauf besoin pr l'exo, ne t'amuse pas à développer les (Pi/2-x)^k, c'est bcp mieux comme ça.