pb dm maths équation differentielle

Dernière réponse : 22 Février 2008 15:44 dans Etudes - Travail

22 Février 2008 14:59:37

bonjour, J'ai un probleme avec une question d'un dm.

Un corps est placé dans une enceinte dont on maintient la temperature constante égale à20 °C.
A l'instant t=0, sa température est égale à 70 °C, après 5 minutes, elle est de 60 °C.
La temperature du corps est une fonction T du temps t, définie sur [0 ; plus l'infini[ ; la loi de refroidissement de Newton énoncé T' est proportionnelle à :
T-20

1) Justifier que la fonction f(t)=T(t)-20 est solution sur [0 ; +l'infini[ d'une équation différentielle de la forme y'=ky ; puis déterminer T.

j'espere que vous pourrez m'aider
merci

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abel_b

22 Février 2008 15:20:19

Citation :

la loi de refroidissement de Newton énoncé T' est proportionnelle à :
T-20

Donc T'=k*(T-20)

Si on pose f(t)=T(t)-20 alors T(t)=f(t)+20 et f'(t)=T'(t)
On remplace T en fonction de f et il vient :

f'(t)=k*f(t)

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the undertaker

22 Février 2008 15:24:57

ah, ok, donc on a t(0)=70
donc 70=C+20
donc C=50

T(5)=60
donc 60=50exp(5k)+20
donc 40=50exp(5k)
donc 4/5=exp(5k)
donc ln(4/5)=5k
donc k = ln(4/5)/5

dont T=50exp([ln(4/5)/5]*t)+20

est-ce juste?