formules deTaylor (math sup)
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
bonjour a tous,
il y a quelques chose que je n'ai pas compris dans mon cours sur la dérivabilité ... :![:whistle:]( ":whistle:")
a quoi servent les formules de taylor young et Lagrange ?
(a par pour les DL) et surtout c'est quoi la différence ?![:pt1cable:]( ":pt1cable:")
et dans Lagrange, d'où vient ce 'c' (....+ f(nième) (c)/!n *(b-a)^n) ? comment le connaitre ? est il important en exo ?![:??:]( ":??:")
bref, jai un peu rien compri a cette partie du cours,
et les éxo, cest meme pas la peine![:sweat:]( ":sweat:")
merci davance si quelqu'un se sent prêt a m'expliquer ^^
il y a quelques chose que je n'ai pas compris dans mon cours sur la dérivabilité ... :
a quoi servent les formules de taylor young et Lagrange ?
(a par pour les DL) et surtout c'est quoi la différence ?
et dans Lagrange, d'où vient ce 'c' (....+ f(nième) (c)/!n *(b-a)^n) ? comment le connaitre ? est il important en exo ?
bref, jai un peu rien compri a cette partie du cours,
et les éxo, cest meme pas la peine
merci davance si quelqu'un se sent prêt a m'expliquer ^^
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Le c provient du théorème des accroissements finis, lui même déduit du théorème de Roll.
Disons que la formule de Taylor Young, n'explicite pas le reste intégrale, elle nous informe juste de son comportement au voisinage d'un point o(x^p).
La formule de Taylor Lagrange est plus précise car ellle nous donne une expression du reste intégral, il sera donc possible d'établir des majorations de ce reste, chose impossible avec la formule de T-Y.
En gros, pour calculer des limites complexes et des DL, celle de TY suffit car on n'a pas envie de connaitre explicitement le reste intégral (inutile pr calculer une limite)
En revanche si dans un exo on veut connaitre explicitement l'erreur commise en assimilant la fonction à son DL, il faudra passer par TL ou TL avec reste de Laplace.
- Un exo type qui se résout avec Taylor :
Montrer que pour tout x dans IR :
e^x =lim (n tend vers +oo) 1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...x^n/n!
Dans cet exo, il suffit de faire un DL à l'ordre n, et a constater qu'on peut majorer le reste intégral par un truc qui converge uniformément vers 0.
Disons que la formule de Taylor Young, n'explicite pas le reste intégrale, elle nous informe juste de son comportement au voisinage d'un point o(x^p).
La formule de Taylor Lagrange est plus précise car ellle nous donne une expression du reste intégral, il sera donc possible d'établir des majorations de ce reste, chose impossible avec la formule de T-Y.
En gros, pour calculer des limites complexes et des DL, celle de TY suffit car on n'a pas envie de connaitre explicitement le reste intégral (inutile pr calculer une limite)
En revanche si dans un exo on veut connaitre explicitement l'erreur commise en assimilant la fonction à son DL, il faudra passer par TL ou TL avec reste de Laplace.
- Un exo type qui se résout avec Taylor :
Montrer que pour tout x dans IR :
e^x =lim (n tend vers +oo) 1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...x^n/n!
Dans cet exo, il suffit de faire un DL à l'ordre n, et a constater qu'on peut majorer le reste intégral par un truc qui converge uniformément vers 0.
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