DM de Math BTS très très urgent (au mois des éxplications) svp
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Equa. Diff du 1er ordre:
I) 1° Soit l'équation différentielle y'-y=x²
Donner la solution générale de cette équation (on pourra rechercher une solution particulière sous la forme d'un polynôme du second degré)
2° On réalise une expérience pour laquelle les conditions initiales sont: y=0 pour x=0.
Donner l'expression de la solution de l'équation vérifiant ces confitions. On notera f cette solution.
II) 1° Soit l'équation différentielles (E): x(1+x²)y'-y=x^3
a) Montrer qu'il existe deux constantes réelles a et b telles que, pour tout réel non nul x:
1/x(1+x²)=a/x + bx/x²+1
b) Résoudre sur R* l'équation différentieles (Eo): x(1+x²)y'-y=0
c) Trouver une solution particulière de (E) de la forme y=ax+b ,
a et b étant des réels à determiner
d) En déduire la solution générale de (E)
e) Trouver la solution particulière f de (E) vérifiant : f'(0)=2
Voilà c'est déjà pas mal, merci de me répondre rapidement
I) 1° Soit l'équation différentielle y'-y=x²
Donner la solution générale de cette équation (on pourra rechercher une solution particulière sous la forme d'un polynôme du second degré)
2° On réalise une expérience pour laquelle les conditions initiales sont: y=0 pour x=0.
Donner l'expression de la solution de l'équation vérifiant ces confitions. On notera f cette solution.
II) 1° Soit l'équation différentielles (E): x(1+x²)y'-y=x^3
a) Montrer qu'il existe deux constantes réelles a et b telles que, pour tout réel non nul x:
1/x(1+x²)=a/x + bx/x²+1
b) Résoudre sur R* l'équation différentieles (Eo): x(1+x²)y'-y=0
c) Trouver une solution particulière de (E) de la forme y=ax+b ,
a et b étant des réels à determiner
d) En déduire la solution générale de (E)
e) Trouver la solution particulière f de (E) vérifiant : f'(0)=2
Voilà c'est déjà pas mal, merci de me répondre rapidement
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I°)
1) C'est pas bien méchant
Tu dois connaitre la forme des solutions de l'équation homogène associée...
La soution particulière, cherche là ss la forme d'un polynome du second degrès...c à d pose p(x)=ax²+bx+c et trouve des conditions (en "injectant p dans l'EDO)sur a,b,c qui permettent de faire que p soit une solution.
2) L'espace des solutions forme un espace affine dont la direction est de dimension 1...étant donné que tu as une condition initiale, tu as la solution du pb (en gros, il faut trouver la constante)
II)
1) Remets au meme dénominateur le membre de droite et identifie : c'est toujours pareil !!!
b) Cherche une solution sous la forme exp(f(x)) : il te faudra déterminer f
c) injecte ax+b dans l'EDO et trouve des conditions sur a et b pr que l'EDO soit vérifiée
d) Il faut retrouver la structure d'espace affine...maintenant que tu as une solution particulière et la solution homogène...ca devrait aller
e) simple application....
1) C'est pas bien méchant
Tu dois connaitre la forme des solutions de l'équation homogène associée...
La soution particulière, cherche là ss la forme d'un polynome du second degrès...c à d pose p(x)=ax²+bx+c et trouve des conditions (en "injectant p dans l'EDO)sur a,b,c qui permettent de faire que p soit une solution.
2) L'espace des solutions forme un espace affine dont la direction est de dimension 1...étant donné que tu as une condition initiale, tu as la solution du pb (en gros, il faut trouver la constante)
II)
1) Remets au meme dénominateur le membre de droite et identifie : c'est toujours pareil !!!
b) Cherche une solution sous la forme exp(f(x)) : il te faudra déterminer f
c) injecte ax+b dans l'EDO et trouve des conditions sur a et b pr que l'EDO soit vérifiée
d) Il faut retrouver la structure d'espace affine...maintenant que tu as une solution particulière et la solution homogène...ca devrait aller
e) simple application....
y'-y=x² (E)
Considérons l'EDO y'-y=0 (H)
Soient f et g deux solutions de (E), alors par linéarité, f-g est solution de (H) (simple à vérifier)
donc il existe K un reel tel que f(x)-g(x)=K*e^x
- On cherche un polynome de degré 2 solution de (E)
P(x)=ax²+bx+c
P'(x)-P(x) = ax² + (2a-b)x + (b-c)
donc P'(x)-P(x)=x² a condition que a=1, b=2,c=2
Donc P(x)=x²+2x+2 esst une solution de (E)
- Or, sachant que P(x) est solution de (E) posons g(x)=P(x)
On en déduit que f(x)=K*e^x + P(x) où K est un reel qui sera a determiner en fct des conditions initiales.
Considérons l'EDO y'-y=0 (H)
Soient f et g deux solutions de (E), alors par linéarité, f-g est solution de (H) (simple à vérifier)
donc il existe K un reel tel que f(x)-g(x)=K*e^x
- On cherche un polynome de degré 2 solution de (E)
P(x)=ax²+bx+c
P'(x)-P(x) = ax² + (2a-b)x + (b-c)
donc P'(x)-P(x)=x² a condition que a=1, b=2,c=2
Donc P(x)=x²+2x+2 esst une solution de (E)
- Or, sachant que P(x) est solution de (E) posons g(x)=P(x)
On en déduit que f(x)=K*e^x + P(x) où K est un reel qui sera a determiner en fct des conditions initiales.
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