HELP : Suites - majoration d'une somme
Forum Etudes / Travail : HELP : Suites - majoration d'une somme
Bonjour à tous !
Je suis en Terminale S et il y a un petit quelque chose que je ne comprends pas, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ???
Soit la somme Sn = (1/2) + (1/2^2) + (1/2^3) + ... + (1/2^n)
En clair c'est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de 1er terme 1/2 et de raison 1/2
Mon problème est le suivant : je ne comprends pas pourquoi Sn est majorée par 1 (peut-être est-ce tout bête ou peut-être faut-il une démonstration mais en tout cas je ne vois pas ...)
Merci à tous pour votre aide !!!
P.S. : "^" signifie "exposant"
Bonjour,
Essaie de faire un dessin, avec un segment qui représente une longueur "1"
Ton premier terme, c'est 1/2 : ça t'amène à la moité du segment ; il t'en reste encore la moitié à parcourir.
Ton 2ème terme, c'est 1/4 : ça t'amène à la moitié de ce qui restait à faire. Reste 1/4 à parcourir.
Ton 3ème terme, c'est 1/8 : là encore, ça fait la moitié du segment qui restait à faire, et il te reste 1/8 à parcourir.
Au final, tu vois que petit à petit, tu te rapproches de 1 sans jamais l'atteindre : il manque 1/2 puis 1/4 puis 1/8 puis 1/16 puis 1/32... Le "reste" est de plus en plus petit mais sans jamais atteindre 0.
Répondre à Glublutz
Oups je me suis mal exprimé ... En fait j'ai compris mais comment le montrer sur ma copie (en effet c'est un devoir maison alors je ne peux pas l'expliquer comme ça ...)
Il y peut-être une démonstration mais en tout cas je trouve pas ...
Ah. Forcément, vu sous cet angle, je suis à côté de la plaque.
A ce moment-là, je prendrais bien les choses dans l'autre sens : baser l'explication sur ce qu'il "manque" pour atteindre 1 plutôt que sur la somme.
Tu peux d'abord montrer que la somme Sn = (1/2) + (1/2^2) + (1/2^3) + ... + (1/2^n) est égale à [1-(1/2^n)] : par récurrence, c'est facile.
Ensuite, tu dis que quand n tend vers l'infini, 2^n tend vers l'infini donc 1/2^n tend vers 0, donc Sn tend vers 1.
Répondre à Glublutz
Merci, j'ai trouvé avec untruc tout bête : je cherchais vraiment trop compliqué ^^
Ben... S'il y a un truc, fût-il "tout bête", tu pourrais peut-être nous en faire profiter ?
Répondre à Glublutz
Bonjour,
Je donne "l'astuce" pr la majoration, au cas où il n'ait pas ton message:
Il suffit de savoir que :
somme(i=1 à n ; 1/2^i) = 1/2 * (1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2)
=(1/2)/(1-1/2) - 1/2^(n+2)/(1-1/2) = 1 - (truc positif)
Donc cette somme est inférieure à 1.
Si tu veux une démo de la formule que j'utilise tu peux demander (en principe c'est classique pr un élève de 1ereS).
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Par Never78 il y a 13 heures :
