HELP : Maths Terminale S - Complexes

Bonjour,

Mets sous forme exponentielle :
(-1+i) puis
(-racine de 2+i racine de 2) puis (-racine de 2+i racine de 2)^3

puis en les multipliant (facile de multiplier des complexes ss forme exponentielle) on trouve l'écriture exponentielle de :
(-1+i)(-racine de 2+i racine de 2)^3

Merci ! Peux-tu m'aider encore s'il te plaît ? (vraiment désolé j'ai un bac blanc dans quelques jours ...)

- Comment démontrer que 4 points d'affixes connues sont sur un cercle QUE L'ON DOIT DETERMINER ?

- Comment, dans le plan complexe, déterminer GEOMETRIQUEMENT l'ensemble des points M d'affixe z tel que :
(z+1)/(z-2i) soit un réel soit un imaginaire pur

- Comment donner la forme exponentielle de z = ie^i(pie/3)

- Comment définir un ensemble de dérivation ???

Je te remercie du fond du coeur !!!

Comme d'hab Maxou tu en demandes bcp !
A ce rythme-là je crains que ton coeur ne se tarisse rapidement  
Mais comme on t'aime bien ...

Alors :
- Comment démontrer que 4 points d'affixes connues sont sur un cercle QUE L'ON DOIT DETERMINER ?
Cette question me laisse un peu perplexe, voici ce que je propose
Soient z1, z2, z3 et z4 les 4 affixes connues
Soit A d'affixe a le centre du cercle et R son rayon
Alors AM1=AM2 (avec des notations évidentes)
donc |z1-a|=|z2-a|
Tu remplaces a par x+iy et tu tritures pour obtenir l'équation de la droite
Tu fais pareil avec z3 et z4
Tu calcules le point d'intersection des 2 droites, ce qui te donne x et y donc a
C'est un peu bourrin, il existe peut-être des méthodes plus simples

- Comment, dans le plan complexe, déterminer GEOMETRIQUEMENT l'ensemble des points M d'affixe z tel que (z+1)/(z-2i) soit un réel
Soient A le point d'affixe -1 et B le point d'affixe 2i
Il faut d'abord remarquer que (z+1)/(z-2i) est défini sauf pour z=2i
Soit M un point d'affixe z différent de 2i
z+1 est l'affixe du vecteur AM
z-2i est l'affixe du vecteur BM
(z+1)/(z-2i) est un réel ssi
z différent de 2i et il existe k dans R tel que z+1=k(z-2i)
ssi M est différent de B et AM=k BM (en vecteur)
ssi M est différent de B et M appartient à (AB)
L'ensemble recherché est donc (AB)\{B}

On peut aussi faire avec les arguments
(z+1)/(z-2i) est un réel ssi
z différent de 2i et {z=-1 ou arg((z+1)/(z-2i))=0 [pi]} ssi
z différent de 2i et {z=-1 ou arg(z+1)-arg(z-2i)=0 [pi]} ssi
M est différent de B et {M=A ou (u,AM)-(u,BM)=0 [pi]} ssi
M est différent de B et {M=A ou (BM,AM)=0 [pi]} ssi
M=A ou M appartient à (AB)\{A,B}
L'ensemble recherché est donc (AB)\{B}

- Comment, dans le plan complexe, déterminer GEOMETRIQUEMENT l'ensemble des points M d'affixe z tel que (z+1)/(z-2i) soit un imaginaire pur
(z+1)/(z-2i) est un imaginaire pur ssi
z différent de 2i et {z=-1 ou arg((z+1)/(z-2i))=pi/2 [pi]} ssi
z différent de 2i et {z=-1 ou arg(z+1)-arg(z-2i)=pi/2 [pi]} ssi
M est différent de B et {M=A ou (u,AM)-(u,BM)=pi/2 [pi]} ssi
M est différent de B et {M=A ou (BM,AM)=pi/2 [pi]} ssi
M=A ou M appartient au cercle de diamètre [AB]\{A,B}
L'ensemble recherché est donc le cercle de diamètre [AB]\{B}

- Comment donner la forme exponentielle de z = ie^i(pie/3)
N'oublie pas que i=e^i(pi/2)
ie^i(pi/3) = e^i(pi/2) e^i(pi/3) = e^i(pi/2 + pi/3) = e^i(5pi/6)

- Comment définir un ensemble de dérivation ???
1) avec les théorèmes (produit, somme, composée de fonctions dérivables)
2) en étudiant la dérivabilité en certains points par un calcul de limite