Des exos d'arithmétique (défi ?)
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjour, ca faisait tellement lgtps que je n'ai pas posté d'énigme (rupture de stock) que je soumet à votre sagacité qques exo d'arithmétique sympatique (le premier est plus chaud que le 2eme).
- Niveau conseillé : TS ou plus (bonne maîtrise)
Prouver que si n est un nombre premier alors :
(n-1)!+1 est divisible par n
(Rappel : (n-1)!=(n-1)*(n-2)*...*4*3*2*1)
- Niveau conseillé (1ere et plus) : mais c'est pas bien méchant
Montrer que le nombre de chiffre utilisés dans l'écriture décimale de 2007^2007 est inférieur à 8028.
Bon divertissement![;)]( ";)")
- Niveau conseillé : TS ou plus (bonne maîtrise)
Prouver que si n est un nombre premier alors :
(n-1)!+1 est divisible par n
(Rappel : (n-1)!=(n-1)*(n-2)*...*4*3*2*1)
- Niveau conseillé (1ere et plus) : mais c'est pas bien méchant
Montrer que le nombre de chiffre utilisés dans l'écriture décimale de 2007^2007 est inférieur à 8028.
Bon divertissement
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)
- Essaie de faire l'intermédiaire, il est plus simple.
Un autre pour le plaisir (lol),
soit (Un) une suite telle que U0=x et :
n²*U(n)=U(1)+U(2)+...+U(n-1) pour tout n
Exprimer Un en fonction de x pour tout n (on pourra utiliser des notations avec des sommes et des produits si nécessaire)
- Là l'idée c'est de calculer des premiers termes (cet exo est tiré des olympiades donc ce n'est pas aussi simple)
Un autre pour le plaisir (lol),
soit (Un) une suite telle que U0=x et :
n²*U(n)=U(1)+U(2)+...+U(n-1) pour tout n
Exprimer Un en fonction de x pour tout n (on pourra utiliser des notations avec des sommes et des produits si nécessaire)
- Là l'idée c'est de calculer des premiers termes (cet exo est tiré des olympiades donc ce n'est pas aussi simple)
Indication :
Si n n'est pas premier alors on peut dire que n=p*q où p et q sont 2 entiers plus petits (strictement) que n..
(n-1)!=(n-1)*(n-2)*...*2*1 (tu vois où je veux en venir ?)
(Suppose dans un 1er temps que n=p*q avec p<>q)
Le cas n=p² avec p premier est un peu plus délicat (mais pas tres difficile)
J'en profite pour mettre un autre exo tiré du concours général : franchement, je l'ai trouvé difficile (et dire que c'est fait pour des élèves de TS !!!!)
- Soit f une fonction continue sur [0,1] avec f(0)=f(1)=0 et
Pour tout x dans [0,7/10], f(x) différent de f(x+3/10)
Question : montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1]
Mini_indice : Cet exo utilise le théorème des valeurs intermédiaires
PS : en cherchant sur le net vous pourrez trouver le sujet, (mais pas le corrigé)
Si n n'est pas premier alors on peut dire que n=p*q où p et q sont 2 entiers plus petits (strictement) que n..
(n-1)!=(n-1)*(n-2)*...*2*1 (tu vois où je veux en venir ?)
(Suppose dans un 1er temps que n=p*q avec p<>q)
Le cas n=p² avec p premier est un peu plus délicat (mais pas tres difficile)
J'en profite pour mettre un autre exo tiré du concours général : franchement, je l'ai trouvé difficile (et dire que c'est fait pour des élèves de TS !!!!)
- Soit f une fonction continue sur [0,1] avec f(0)=f(1)=0 et
Pour tout x dans [0,7/10], f(x) différent de f(x+3/10)
Question : montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1]
Mini_indice : Cet exo utilise le théorème des valeurs intermédiaires
PS : en cherchant sur le net vous pourrez trouver le sujet, (mais pas le corrigé)
L'exo du CG m'inspire plus enfait ...
J'ai un début de réponse :
J'espere que c'est suffisant![:D]( ":D")
J'ai un début de réponse :
Spoiler
On a f(x) différent de f(x+3/10)
Donc soit f(x+3/10)>f(x) (1er cas) soit f(x+3/10)<f(x) (2eme cas)
Etude du 1er cas:
Pour x=7/10 :
F(1)>f(7/10) soit 0>f(7/10)
Pour x=4/10:
f(7/10)>f(4/10) soit 0>f(4/10)
Pour x=1/10
f(4/10)>f(1/10) soit 0 >f(1/10)
Pour x=0:
f(3/10)>f(0) soit f(3/10)>0
pour x=3/10
f(6/10)>f(3/10) soit f(6/10)>0
Pour x=6/10
f(9/10)>f(6/10) soit f(9/10)>0
On a donc f(7/10), f(4/10), f(1/10) <0
et f(3/10), f(6/10) et f(9/10) >0
Apres en applicant le theoreme des valeurs intermédiaires ont trouves 5 encadrement de valeur pour lesquelles f(x)=0
et on rajoute f(1)=f(0)=0
il faut montrer la meme chose pour le 2eme cas ...
Donc soit f(x+3/10)>f(x) (1er cas) soit f(x+3/10)<f(x) (2eme cas)
Etude du 1er cas:
Pour x=7/10 :
F(1)>f(7/10) soit 0>f(7/10)
Pour x=4/10:
f(7/10)>f(4/10) soit 0>f(4/10)
Pour x=1/10
f(4/10)>f(1/10) soit 0 >f(1/10)
Pour x=0:
f(3/10)>f(0) soit f(3/10)>0
pour x=3/10
f(6/10)>f(3/10) soit f(6/10)>0
Pour x=6/10
f(9/10)>f(6/10) soit f(9/10)>0
On a donc f(7/10), f(4/10), f(1/10) <0
et f(3/10), f(6/10) et f(9/10) >0
Apres en applicant le theoreme des valeurs intermédiaires ont trouves 5 encadrement de valeur pour lesquelles f(x)=0
et on rajoute f(1)=f(0)=0
il faut montrer la meme chose pour le 2eme cas ...
J'espere que c'est suffisant
Pour le 1er exo j'ai une petite idée mais ça me parait trop simple ...
Spoiler
(j'utilise == pour le signe de la congruence)
n == 0 (n)
donc (n-1) == -1 (n)
soit (n-1)! == -1 (n)
alors (n-1)!+1 == 0 (n)
soit : n divise (n-1)!+1
Ce qui me chipotte c'est que j'utilise pas le fait que n est premier ...
(j'utilise == pour le signe de la congruence)
n == 0 (n)
donc (n-1) == -1 (n)
soit (n-1)! == -1 (n)
alors (n-1)!+1 == 0 (n)
soit : n divise (n-1)!+1
Ce qui me chipotte c'est que j'utilise pas le fait que n est premier ...
C'est bien l'idée pour l'exo du CG (sachant que dans l'énoncé il n'y avait pas l'indication)..Bien joué...Je suis en train de "m'amuser" à faire des exos du CG !! pfouaa ils sont degueux y en a !!! Celui là était l'un des plus faciles à mon sens (même s'il n'est pas trivial)
- Par contre pour le 2eme ce n'est pas ça tu fais une erreur ici :
soit (n-1)! == -1 (n)
Après le soit...on ne peut pas affirmer cela
Correction exo (pas rigoureuse car trop chiant de tout justifier)
EDIT : je crois savoir que tu veux aller en prépa : les exos que tu auras a traîter seront à peu près de cette difficluté là (dans les concours relativement sélectifs) voire pire pr les épreuves type X - ENS
- Par contre pour le 2eme ce n'est pas ça tu fais une erreur ici :
Citation :
(n-1) == -1 (n)soit (n-1)! == -1 (n)
Après le soit...on ne peut pas affirmer cela
Correction exo (pas rigoureuse car trop chiant de tout justifier)
Spoiler
- L'idée pour cette question est de "remarquer" que si n est premier alors : pour k<n on a k qui est premier avec n (logique)
donc d'apres bezout : il existe a et b tels que a*k+b*n = 1 (avec a et b premiers entre eux)
Donc a*k== 1 [n]
En bref, on est toujours capable de trouver un nombre a tel que pour tout k inférieur à n, on a:
a*k==1[n]
- Maintenant, notons r le reste de la division euclidienne de a par n
alors r<n et de plus :
r*n==1 [n]
preuve :
car a*k==1[n] donc (q*n+r)*k == 1[n] donc vu que q*n*r est divisible par n, on a r*a==1[n] avec r plus petit que n (strict)...
En bref, pour tout k inférieur à n, on trouve un unique entier k' (éventuellement égal à k) tel que :
k*k'==1[n]
Or remarquons que k' est différent de k sauf si k=n-1 :
- si k=n-1 alors on remarque que k²=n²-2n+1 ==1[n] donc n-1 convient et c'est le seul par unicité du reste dans la division euclidienne
- si k<>n-1 alors k²=(n-i)² avec i un nombre <>1
k²=n² - 2in + i² donc si k²==1[p] ca voudrait dire que i²==1[p] : contradiction car ca voudrait dire que (i-1)(i+1) divise p qui est premier
- En bref, vu que
(n-1)! = (n-1)*(n-2)*...*3*2*1
On sait que des entiers vont se "tuer" deux à deux pour donner un reste qui vaut 1, sauf le (n-1) car lui il faut qu'il soit multiplié par lui même pr donner un reste de 1
Bilan : (n-1)!==n-1[p] == -1[p]
donc d'apres bezout : il existe a et b tels que a*k+b*n = 1 (avec a et b premiers entre eux)
Donc a*k== 1 [n]
En bref, on est toujours capable de trouver un nombre a tel que pour tout k inférieur à n, on a:
a*k==1[n]
- Maintenant, notons r le reste de la division euclidienne de a par n
alors r<n et de plus :
r*n==1 [n]
preuve :
car a*k==1[n] donc (q*n+r)*k == 1[n] donc vu que q*n*r est divisible par n, on a r*a==1[n] avec r plus petit que n (strict)...
En bref, pour tout k inférieur à n, on trouve un unique entier k' (éventuellement égal à k) tel que :
k*k'==1[n]
Or remarquons que k' est différent de k sauf si k=n-1 :
- si k=n-1 alors on remarque que k²=n²-2n+1 ==1[n] donc n-1 convient et c'est le seul par unicité du reste dans la division euclidienne
- si k<>n-1 alors k²=(n-i)² avec i un nombre <>1
k²=n² - 2in + i² donc si k²==1[p] ca voudrait dire que i²==1[p] : contradiction car ca voudrait dire que (i-1)(i+1) divise p qui est premier
- En bref, vu que
(n-1)! = (n-1)*(n-2)*...*3*2*1
On sait que des entiers vont se "tuer" deux à deux pour donner un reste qui vaut 1, sauf le (n-1) car lui il faut qu'il soit multiplié par lui même pr donner un reste de 1
Bilan : (n-1)!==n-1[p] == -1[p]
EDIT : je crois savoir que tu veux aller en prépa : les exos que tu auras a traîter seront à peu près de cette difficluté là (dans les concours relativement sélectifs) voire pire pr les épreuves type X - ENS
Malheureusement, les exos de prépa sont largement pire que ça. Ca c'est les p'tits exos en début de leçon mais après ça se corce...
Enfin, tout dépend de la "côte" du lycée où tu feras la prépa, s'il veulent te donner le niveau ou s'ils veulent faire de toi un membre de "l'élite" !!!
Une ancienne élève de prépa![;)]( ";)")
Enfin, tout dépend de la "côte" du lycée où tu feras la prépa, s'il veulent te donner le niveau ou s'ils veulent faire de toi un membre de "l'élite" !!!
Une ancienne élève de prépa
- En fait, avec les outils qu'on a en prépa on balaie cet exo en 2 secondes (donc aucun mérite, j'ai adapté la démo pour que ca soit compréhensible par un lycéen)
- Voici un sujet tiré d'olympiades (il me semble)
On prend l'ensemble des entiers entre 1 et 99
- on selectionne 10 éléments de cet ensemble (peu importe lesquels) pour former un nouvel ensemble F (de 10 entiers)
Montrer qu'on peut toujours trouver 2 sous ensembles de F dont la somme des éléments est égale (niveau 1ere S)
- Voici un sujet type olympiade
Trouver toutes les fonctions de Q dans IR telles que pour tout x,y de Q
f(x+y)=f(x)+f(y)
- Voici un sujet tiré d'olympiades (il me semble)
On prend l'ensemble des entiers entre 1 et 99
- on selectionne 10 éléments de cet ensemble (peu importe lesquels) pour former un nouvel ensemble F (de 10 entiers)
Montrer qu'on peut toujours trouver 2 sous ensembles de F dont la somme des éléments est égale (niveau 1ere S)
- Voici un sujet type olympiade
Trouver toutes les fonctions de Q dans IR telles que pour tout x,y de Q
f(x+y)=f(x)+f(y)
abel_b a dit :
- En fait, avec les outils qu'on a en prépa on balaie cet exo en 2 secondes (donc aucun mérite, j'ai adapté la démo pour que ca soit compréhensible par un lycéen)- Voici un sujet tiré d'olympiades (il me semble)
On prend l'ensemble des entiers entre 1 et 99
- on selectionne 10 éléments de cet ensemble (peu importe lesquels) pour former un nouvel ensemble F (de 10 entiers)
Montrer qu'on peut toujours trouver 2 sous ensembles de F dont la somme des éléments est égale (niveau 1ere S)
- Voici un sujet type olympiade
Trouver toutes les fonctions de Q dans IR telles que pour tout x,y de Q
f(x+y)=f(x)+f(y)
Y manque pas un bout de phrase?
abel_b a dit :
- Voici un sujet type olympiade
Trouver toutes les fonctions de Q dans IR telles que pour tout x,y de Q
f(x+y)=f(x)+f(y)
En bidouillant un peu je trouve que c'est toutes les fonctions linéaires qui conviennent ... (y=ax)
Mais je poste pas ma réponse car il n'y a vraiment rien de tres rigoureux
Pour l'autre exo : c'est quoi un sous ensemble?
- Un sous ensemble de E est un ensemble inclus dans E...
par exemple {1,3,7} est un sous ensemble de {1,2,3,4,5,7}
- il est facile de voir que les fonctions linéaires conviennent...Reste à prouver que ce sont les seules....
Indices :
- Que vaut f(0) (en choisissant des bonnes valeurs pr x et y
- commencer pour x et (ou) y entier(s)
- travailler avec la fonction g=f/f(1),
g(n+1)=.....
donc g(k*n)=....
Bref, tu en ddéduis le résultat pour x dans IN
- Ensuite sachant qu'un rationnel est de la forme p/q .....(trouve un truc pr te ramener au cas des naturels)
- Réciproque ?
par exemple {1,3,7} est un sous ensemble de {1,2,3,4,5,7}
- il est facile de voir que les fonctions linéaires conviennent...Reste à prouver que ce sont les seules....
Indices :
- Que vaut f(0) (en choisissant des bonnes valeurs pr x et y
- commencer pour x et (ou) y entier(s)
- travailler avec la fonction g=f/f(1),
g(n+1)=.....
donc g(k*n)=....
Bref, tu en ddéduis le résultat pour x dans IN
- Ensuite sachant qu'un rationnel est de la forme p/q .....(trouve un truc pr te ramener au cas des naturels)
- Réciproque ?
- C'est pr rendre plus pratique (ce n'es pas du tout indispensable), si tu avais travaillé avec f tu aurais trouvé : f(n+1)=f(n)+f(1) (c'est juste pour ne pas se trainer un f(1) dans les écritures).
- Bref, avec ce que tu as, on en déduit que pour tout naturel g(n)=n (bête étude d'une suite arithmétique)
Maintenant, on aimerait bien montrer que pour un rationnel p/q on a g(p/q)=p/q
- Montre que g(k*a)=k*g(a) pour "a" un nombre rationnel (c'est la même méthode que pour un naturel)
- En déduire que g(p/q)=p/q en calculant de 2 façons g(q*p/q)
On peut généraliser ce résultat : g(x)=x pr x un reel mais ça demande des arguments de continuité que l'on ne connaît pas en TS.
- Bref, avec ce que tu as, on en déduit que pour tout naturel g(n)=n (bête étude d'une suite arithmétique)
Maintenant, on aimerait bien montrer que pour un rationnel p/q on a g(p/q)=p/q
- Montre que g(k*a)=k*g(a) pour "a" un nombre rationnel (c'est la même méthode que pour un naturel)
- En déduire que g(p/q)=p/q en calculant de 2 façons g(q*p/q)
On peut généraliser ce résultat : g(x)=x pr x un reel mais ça demande des arguments de continuité que l'on ne connaît pas en TS.
Voilà c'est bien ça.
En fait, il suffirait d'ajouter la condition "f est continue en 0" pour étendre ce résultat sur IR...
- Si f continue en 0, soit a un reel
f(a+h)=f(a)+f(h) qui tend bien vers f(a) quand h tend vers 0 car f est continue en 0 et vaut 0 : donc f est continue sur IR
De plus f(x)=x sur Q et f est continue : intuitivement on comprend que si f(x)<>x pour un irrationnel, on arrive à une contradiction avec la continuité de f...(je ne détaille pas ce passage car ca utilise des arguments inconnus au lycée)
En fait, il suffirait d'ajouter la condition "f est continue en 0" pour étendre ce résultat sur IR...
- Si f continue en 0, soit a un reel
f(a+h)=f(a)+f(h) qui tend bien vers f(a) quand h tend vers 0 car f est continue en 0 et vaut 0 : donc f est continue sur IR
De plus f(x)=x sur Q et f est continue : intuitivement on comprend que si f(x)<>x pour un irrationnel, on arrive à une contradiction avec la continuité de f...(je ne détaille pas ce passage car ca utilise des arguments inconnus au lycée)
Je me penche maintenant sur ce probleme :
Un autre pour le plaisir (lol),
soit (Un) une suite telle que U0=x et :
n²*U(n)=U(1)+U(2)+...+U(n-1) pour tout n
Exprimer Un en fonction de x pour tout n (on pourra utiliser des notations avec des sommes et des produits si nécessaire)
- Là l'idée c'est de calculer des premiers termes (cet exo est tiré des olympiades donc ce n'est pas aussi simple)
j'ai une question : ça serait pas plutot U1=x ?car j'ai calculer les premiers termes en fonction de U1 (sans faire intervenir U0) ...
EDIT: non enfait avec U1=x cela serait trivial ...
abel_b a dit :
Un autre pour le plaisir (lol),
soit (Un) une suite telle que U0=x et :
n²*U(n)=U(1)+U(2)+...+U(n-1) pour tout n
Exprimer Un en fonction de x pour tout n (on pourra utiliser des notations avec des sommes et des produits si nécessaire)
- Là l'idée c'est de calculer des premiers termes (cet exo est tiré des olympiades donc ce n'est pas aussi simple)
j'ai une question : ça serait pas plutot U1=x ?car j'ai calculer les premiers termes en fonction de U1 (sans faire intervenir U0) ...
EDIT: non enfait avec U1=x cela serait trivial ...
Hum...je trouvais qque chose d'assez différent mais tout aussi dégueulace. Je te donne la méthode, si tu veux y jeter un oeil...
Spoiler
u(1)=x
u(2)=x*1/4
9*u(3)=x*(1+1/4) donc u(3)=x*1/9*(1+1/4)
u(4) = 1/16*x*(1+1/4+1/9*(1+1/4)) donc on factorise 1+1/4 d'où u(4)=x*1/16*(1+1/4)*(1+1/9)
25*u(5)=x*(1 + 1/4 + 1/9*(1+1/4) + 1/16*(1+1/4)*(1+1/9))
donc on factorise (1+1/4)*(1+1/9) et il vient :
u(5)=x*1/25*(1+1/4)*(1+1/9)*(1+1/16)
...
Bref on voit la formule apparaître...
Le tout est de savoir quoi factoriser à quel endroit.
u(1)=x
u(2)=x*1/4
9*u(3)=x*(1+1/4) donc u(3)=x*1/9*(1+1/4)
u(4) = 1/16*x*(1+1/4+1/9*(1+1/4)) donc on factorise 1+1/4 d'où u(4)=x*1/16*(1+1/4)*(1+1/9)
25*u(5)=x*(1 + 1/4 + 1/9*(1+1/4) + 1/16*(1+1/4)*(1+1/9))
donc on factorise (1+1/4)*(1+1/9) et il vient :
u(5)=x*1/25*(1+1/4)*(1+1/9)*(1+1/16)
...
Bref on voit la formule apparaître...
Le tout est de savoir quoi factoriser à quel endroit.
Je vais poster ma solution :
Mais ta solution est plus simple![:D]( ":D")
Spoiler
Tout dabord j'ai calculer les 1er termes de la suite :
U1=x
U2=x/4
U3=(5/36)*x
U4=(50/576)*x
U5=(850/14400)*x
Et donc la j'ai essayé de trouver une relation entre 1, 5, 50 et 4,36,576
(J'ai eu du mal quand meme pour la relation..)
-On a 5= 5*1=(2²+1)
et 50=5*10=(2²+1)*(3²+1)
et 850= 5*10*17=(2²+1)*(3²+1)*(4²+1)
==> on voit deja la relation avec le produit !
-de plus 4=2²=(2!)²
et 36=6²=(3!)²
et 576=24²=(4!)²
et 14400=120²=(5!)²
==> Donc j'en deduis la relation que je t'ai donné avant ....
U1=x
U2=x/4
U3=(5/36)*x
U4=(50/576)*x
U5=(850/14400)*x
Et donc la j'ai essayé de trouver une relation entre 1, 5, 50 et 4,36,576
(J'ai eu du mal quand meme pour la relation..)
-On a 5= 5*1=(2²+1)
et 50=5*10=(2²+1)*(3²+1)
et 850= 5*10*17=(2²+1)*(3²+1)*(4²+1)
==> on voit deja la relation avec le produit !
-de plus 4=2²=(2!)²
et 36=6²=(3!)²
et 576=24²=(4!)²
et 14400=120²=(5!)²
==> Donc j'en deduis la relation que je t'ai donné avant ....
Mais ta solution est plus simple
En fait, on peut démontrer facilement que ta formule et la mienne sont égales...il suffit de partir de la mienne et de multipier par ((n-1)!)² /((n-1)!)² qui vaut 1 mais qui donne ton écriture...
Je parie que tu as eu besoin d'une calculette![:D]( ":D")
...Moi pas ![:kaola:]( ":kaola:")
(lol)
Bon, en attendant un prochain exo....
Citation :
14400=120²=(5!)² Je parie que tu as eu besoin d'une calculette
...Moi pas 
(lol)Bon, en attendant un prochain exo....
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