dérivée d'une fonction

slt tout le monde!Voila j'ai un probléme qunad je dérive cette fonction:
x^3 - 4
f(x)= .............
x^2 +1

x^4+3x^2+8x
je trouve f'(x)=.........................
(x^2+1)²

et la je suis bloquée car je ne sais pas étudier le signe de (x^4+3^2+8x )!!j'ai également penser a utlisée la dérivée seconde mais c'est encore plus pire!!!donc si quelqun pouvait m'aider je lui en serait trés reconnaisant!!Merci à tous et bonne soirée!!

oki et dc elle s'annule en 0 car 8x=0 pour x=0 c'est sa ??merci

x (x^3+3x+8) = 0 pour
x = 0 et
x = racine cubique[-4-racine carrée(17)] + racine cubique[-4+racine carrée(17)], valeur approchée -1.51275

et le dénominateur (x²+1)² aussi car il est fait partie dc en faite je fais un tableau de signe avec 3 lignes(1 pour x,pour x^3+3x+8,x²+1)?nn?comment tu fais pour trouver la solution de l'équation x^3+3x+8??(juste pour ma culture mathématiques lol)merci beaucoup!!

Si la résolution des équations du 3ème degré n'est pas à ton programme, tu peux juste dire que g(x) = x^3+3x+8 est une fonction
- strictement croissante (puisque sa dérivée est 3(x²+1) > 0)
- de limite -oo en -oo et +oo en +oo
Le théorème des valeurs intermédiaires te permet d'affirmer l'existence d'un unique x0 tel que g(x0)=0.
Après tout on se fiche de la valeur de x0 (même si c'est racine cubique[-4-racine carrée(17)] + racine cubique[-4+racine carrée(17)])
Pour ta culture mathématique, pour trouver la valeur de x0, on pose :
x=u+v avec uv=-1 (on a le droit)
On arrive à u^3+v^3+8=0
(u^3)² + 8 u^3 - 1 = 0
u^3 est solution d'une équation du second degré
d'où u, d'où v, d'où x=u+v

Attention :
x=u+v, c'est générique
uv=-1, c'est spécifique à l'équation donnée. L'idée c'est d'annuler le terme en (u+v)
x^3 = (u+v)^3=u^3 + v^3 + 3uv (u+v)
3x = 3 (u+v)
donc x^3 + 3x = u^3 + v^3 + 3 (u+v) (uv+1)
C'est pour ça qu'on pose uv=-1