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Les nombres complexes, exo.

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour,

J'ai un petit exercice à faire sur les nombres complexes (i²=-1). J'aimerais une correction si possible :innocent:
Enoncé : Mettre sous la forme algébrique a + bi les nombres complexes suivants :


a) 1/2-i = 2+i / (2-i)(2+i) = 2+i / 4+1 = 2+i/5 = 2/5 + i/5

b) i-2/i = ???

c) 3+2i/1 = (3+2i)(1-3i) / (1+3i)(1-3i) = 3-9i+2i-6i² / 1-3i+3i-3i² = ???

d) (3+2i/1+3i)² = c'est rapport à la réponse d'avant mais vu que voilà...

e) 1+i :racine:2 / :racine:2+i

J'suis désolé de n'avoir presque rien fait mais j'ai eu une heure de cours sur les nombres complexes donc j'ai pas vraiment compris...

Merci d'avance...

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a) 1/2-i = 2+i / (2-i)(2+i) = 2+i / 4+1 = 2+i/5 = 2/5 + i/5
Celui ci est bon.

b) i-2/i = ???
Il faut multiplier par i en haut et en bas
i-2/i = (i-2)i/i² = (i²-2i)/i² = (-1-2i) / -1 = 1+2i

c) 3+2i/1 = (3+2i)(1-3i) / (1+3i)(1-3i) = 3-9i+2i-6i² / 1-3i+3i-3i² = ???
Je ne comprends pas... tu dois résoudre 3+2i/1 ? Car si c'est ça :
3+2i/1 = 3+2i

d) Je ne peut pas te répondre car tu as du te tromper à recopier la question précédente.

Arf ! Je me suis trompé en recopiant -__-

a) ok :) 

b) ah daccord !!! c'est comme les autres en fait xD

c) ah donc ici planté ! 3+2i / 1+3i voilà donc j'pense que mon début est juste mais après je vois pas comment je dois faire :/ 

d) ben j'y arrive toujours pas...

e) encore mal recopié oO 1+i'racine'2 / 'racine'2 + 1

voila!

Pour le d) (3+2i/1+3i)²
= (3+2i)²/(1+3i)²
= (9 + 12i + 4i²)/(1 + 6i + 9i²)
On remplace les i² par -1 car i²=-1
= (9 + 12i - 4)/(1 + 6i - 9)
= (5 + 12i) / (6i - 8)

Après tu multiplie par le conjugé de (6i - 8) en haut et en bas, tu as :
= ((5+12i)(6i+8))/((6i-8)(6i+8))
= (30i + 40 + 72i² + 96i)/(36i² + 48i - 48i -64)
On remplace les i² par -1
= (30i + 40 - 72 + 96i) / (-36 - 64)
= (126i -32) / (-100)
=32/100 -126i/100
Après il ne te reste plus qu'à simplifier cette équation en divisant chaque quotient par le PGCD

Voila, j'èspère ne pas avoir fait d'erreur car j'ai fait ça un peu vite.

pour le d) j'ai trouvé :

d) ((3+2i)/(1+3i))² = ((9/10) - (7i/10))² = 81/100 - 49/100 = 32/100 = 8/25

je vais plutôt croire ta méthode =D

mais pour le e), je comprends pas vraiment...

1+i'racine'2 / 'racine'2 + i je peux pas dire que c'est =
1-2 / -1

technique générale pour simplifier (a+ib)/(c+id)

on multiplie haut et bas par (c-id)

en bas cela donne (c+id)*(c-id)=c²+d² donc un nombre réel.

en haut (a+ib)(c-id)=ac+bd +i(ac-bd)

ici a=1, b=racine(2), c=racine(2) et d=1 d'où le résultat 2/3*racine(2)
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