HELP : équations différentielles
Dernière réponse : dans Etudes - Travail
Bonjour à tous ! J'ai un petit problème, je n'arrive pas à faire cette question :
On note u(t) le nombre de rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, saisfait aux conditions :
(E2) : u'(t) = u(t) / 4 - u(t)carré / 12 pour tout nombre réel positif ou nul ET u(0) = 1
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u
a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) strictement supérieur à 0 . On considère sur l'intervalle [0 ; +infini[ la fonction h définie par h = 1 / u. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) ssi la fonction h satisfait aux conditions :
(E3) : h'(t) = -h(t) / 4 + 1/12 pour tout nombre réel t positif ou nul ET h(0) = 1
où h' désigne la fonction dérivée de la fn h
Voila, je ne vous demande pas de faire l'exercice![;)]( ";)")
mais seulement de m'expliquer comment faire pour répondre à cette question parce que là ![:ouch:]( ":ouch:")
Merci énormément !!!!!!!!
On note u(t) le nombre de rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, saisfait aux conditions :
(E2) : u'(t) = u(t) / 4 - u(t)carré / 12 pour tout nombre réel positif ou nul ET u(0) = 1
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u
a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) strictement supérieur à 0 . On considère sur l'intervalle [0 ; +infini[ la fonction h définie par h = 1 / u. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) ssi la fonction h satisfait aux conditions :
(E3) : h'(t) = -h(t) / 4 + 1/12 pour tout nombre réel t positif ou nul ET h(0) = 1
où h' désigne la fonction dérivée de la fn h
Voila, je ne vous demande pas de faire l'exercice
mais seulement de m'expliquer comment faire pour répondre à cette question parce que là 
Merci énormément !!!!!!!!
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Salut,
On te demande de faire un changement de fonction pour tomber sur une equa diff que tu sais résoudre.
- exprime ton equa diff en fonction de h :
u(t)=1/h(t) donc u'(t)=-h'(t)/h²(t) : remplace u(t) et u'(t) par ce que j'ai mis et ca te donne le résultat...
- Il y a rigoureusement équivalence car on suppose que u est positive strictement. Il faut aussi dire que x->1/x est bijective de IR+* sur IR+*. Autrement dit, il est possible, en partant de l'equation satisfaitre par h de remonter à l'equation satisfaite par u en posant juste u=1/h.
Je dis ca car parfois on peut te demander de poser h(t)=cos(u(t)) à l'occasion d'un autre pb ce qui n'est clairement pas bijectif...autrement dit, les solution par h contiennent les solutions par u, mais il y a des solutions de la nouvelle ED qui ne conviennent pas au pb initial.
On te demande de faire un changement de fonction pour tomber sur une equa diff que tu sais résoudre.
- exprime ton equa diff en fonction de h :
u(t)=1/h(t) donc u'(t)=-h'(t)/h²(t) : remplace u(t) et u'(t) par ce que j'ai mis et ca te donne le résultat...
- Il y a rigoureusement équivalence car on suppose que u est positive strictement. Il faut aussi dire que x->1/x est bijective de IR+* sur IR+*. Autrement dit, il est possible, en partant de l'equation satisfaitre par h de remonter à l'equation satisfaite par u en posant juste u=1/h.
Je dis ca car parfois on peut te demander de poser h(t)=cos(u(t)) à l'occasion d'un autre pb ce qui n'est clairement pas bijectif...autrement dit, les solution par h contiennent les solutions par u, mais il y a des solutions de la nouvelle ED qui ne conviennent pas au pb initial.
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