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aide de math de niveau term STI (complexe)

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour

Ma prof nous a donné un DM a faire mais voila je reste bloqué dès le début. J'ai cherché dans les exercices déja fait les cours etc... mais rien. Donc si vous pouviez m'aider ce serait sympa. Voila l'exo

Soit z=x+iy un nombre complexe dont l'image dans le plan rapporté au repère orthonormal (O,u,v) est M(x, y).

a) Montrer que l'ensemble U des points M du plan tels que :
|2iz + 1 + i| = 4
est un cercle dont on déterminera le centre (signe de ohm) et le rayon R.
Représenter U dans el repère (O,u,v) en prenant le centimètre pour unité.

b) Le cercle U coupe la droite delta d'équation x = 1/2 en deux points M' et M''. Calculer les coordonnées de M' et M''.
En déduire leurs affixes respectives z' et z''.

c) Soit Z = z' + z''. Montrer que Z = 1 + i.
Pour tout entier naturel n ,donner la forme exponentielle de Zn.

Merci d'avance.

PS:ne me donnez pas forcement la réponse mais une petite piste au moins et si je ne sais vraiment pas alors je vous le dirais.

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a) Soit un cercle de centre O(a,b) et de rayon R
Un point M(x,y) est sur le cercle ssi
OM = R
soit racine ((x-a)² + (y-b)²) = R

Remplace z par x+iy dans l'expression |2iz + 1 + i| = 4 et trouve un truc de la forme racine ((x-a)² + (y-b)²) = R

PS : le signe de ohm, c'est omega

loustic100 a dit :
ok donc je viens de le faire mais comment supprimer la valeur absolue ???
Où a quelle etape s'enlève-t-elle ?
Merci pour ta reponse deja elle m'a bien avancée
Ce n'est pas une valeur absolue, c'est un module
|a + ib| = racine(a²+b²)

loustic100 a dit :
bon j'ai fini le calcul (enfin j'espere) donc d'après moi cela donnerai a la fin :
(x+1)² + (y-1)²= 22

et donc c'est un cercle de centre (-1 ; 1) et de rayon V22. ??????
Si c'est bon aurais-tu un petit indice pour la b) aussi ?
Merci
Je n'arrive pas au même résultat ...

mince.
est-ce que tu arrives a (2x+2)²+(2y-2)²=22?
Dans ce cas quelles sont les coordonnées du centre ??

En tout cas je te mets mon calcul pour que tu puisses m'aider a le corriger :


Soit z=x+iy et T(z)=X+iY où x,y,X,Y sont des réels

T(z) = 2iz+1+i
X+iY = 2i ( x+iy ) +1+i
= 2ix-2y+1+i

mince.
est-ce que tu arrives a (2x+2)²+(2y-2)²=22?
Dans ce cas quelles sont les coordonnées du centre ??

En tout cas je te mets mon calcul pour que tu puisses m'aider a le corriger :


Soit z=x+iy et T(z)=X+iY où x,y,X,Y sont des réels

T(z) = 2iz+1+i
X+iY = 2i ( x+iy ) +1+i
= 2ix-2y+1+i
= ( 2ix+i ) + ( -2y+1 )
En séparant les parties réelles et imaginaires , on a :
X = -2y+1
Y = 2x+1

Donc |T(z)| = 4
V((+2y+1)²+(2x+1)²) = 4
(-2y+1)²+(2x+1)² = 16
4y²-4y+1+4x²+4x+1-16 = 0
4x²+4x+4y²-4y-14 = 0
(x+1)²-4+(y-1)²-4-14 = 0 ou (2x+2)²-4+(2y-2)²-4-14
je pense que c'est la première car la formule c'est x et non 2x.
(x+1)²+(y-1)² = 22

loustic100 a dit :

Soit z=x+iy et T(z)=X+iY où x,y,X,Y sont des réels
T(z) = 2iz+1+i
X+iY = 2i ( x+iy ) +1+i
= 2ix-2y+1+i
= ( 2ix+i ) + ( -2y+1 )
En séparant les parties réelles et imaginaires , on a :
X = -2y+1
Y = 2x+1

Donc |T(z)| = 4
V((+2y+1)²+(2x+1)²) = 4
(-2y+1)²+(2x+1)² = 16
4y²-4y+1+4x²+4x+1-16 = 0
4x²+4x+4y²-4y-14 = 0

Jusque là ton calcul est juste (même si tu n'as pas besoin de développer)

loustic100 a dit :


(x+1)²-4+(y-1)²-4-14 = 0 ou (2x+2)²-4+(2y-2)²-4-14
Là c'est faux
Tu ne peux pas passer de
4x²+4x+4y²-4y-14 = 0
à
(x+1)²-4+(y-1)²-4-14 = 0 ni (2x+2)²-4+(2y-2)²-4-14 = 0
car (x+1)²=x²+2x+1 et (2x+2)²=4x²+8x+4
Ta démarche est étrange car tu développes puis tu refactorises, tu tombes forcément sur le départ (-2y+1)²+(2x+1)² = 16

Tu as
(-2y+1)²+(2x+1)² = 16
Tu veux
(x-a)² + (y-b)² = R² avec les notations de mon 1er post
C'est quasiment écrit, pas besoin de développer les ²
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