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Vrai ou faux sur fonction exponentielle

Dernière réponse : dans Etudes - Travail

Bonjour!!!! :) 

J'ai un vrai ou faux à faire en Dm et il y a des réponses dont je ne suis pas sur

Voila l'énoncé:
Jusitifier chaque réponse
f est la fonction définie sur R par f(x) = xe^-x

a) Pour tout réel x, f(x) f(-x) est inférieur ou égale à 0

moi j'ai dis faux car j'ai fais un tableau de signe puisqu'on voit que f(x) est inférieur ou églae à 0 quand on passe le f(-x) de lautre coté
et je trouve comme racine 0 et -1

puisque e^-x inférieur ou égale à 0 sa devrait faire x supérieure ou égale à -1 si je ne me trompe pas????????

c) pour tout réel x , f(x) inférieure ou églae à 1

moi j'ai étudié le signe de f(x) et je trouve comme racine 0 et -1 est ce que c'est juste????????? et donc c'est faux

d) lim de f(x) quand x tend vers - l'infinie = - l'infinie

Moi j'ai dis faux car limlite de e^-x c'est 0
et lim de x c'est - l'infinie
donc sa fait 0????????

e) f est solution de l'équation différencielle y' = - y

Comment on fait si on a pas de valeur tu style f(0) = 1 ? ?????

J'ai également une question d'un QCM :

g est la fonction définie sur R par:
g(x) = e^x (x-1) + x²

alors
a) g est positive sur ]0. + l'infinie [
b) g est négative sur ]0;1[
c) g est strictement croissante sur ]0; + l'infinie[
d) g admet un minimum en 0

moi j'ai mis c et d parce qu'en calculant la dérivé je trouve en racine 0 et e^x + 2 = 0 ca donne quoi comme racine x = 1?????

merci de m'aider bisous :bounce: 

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a) c'est vrai
f(x) = xe^-x
f(-x) = -xe^x
donc f(x) f(-x) = -x²

b) ya pas de b ?

c) c'est vrai
f'(x) = (1-x) e^-x c'est du signe de 1-x
donc f est croissante de -oo à 1 et décroissante de 1 à +oo
et f(1) = 1/e < 1

Je m'arrête là ...
Y a déjà pas mal de boulot pour toi ... :??: 

lim de e^-x quand x tend vers + oo est effectivement égal a 0.
Par contre, si une limite tend vers 0, multiplier par une limite qui tend vers l'infini ne donnera pas forcement 0 comme limite, il faut lever l'indetermination.
Si c'est pour répondre au d)c'est faux e^-x en -oo se comporte comme e^x en +oo d'où lim(-oo) xe^-x=-oo (-oo x +oo).
pour la f), dérive f(x).

d) tu as encore tout faux
lim de x quand x tend vers -oo = -oo
lim de e^-x quand x tend vers -oo = +oo
donc lim de f(x) quand x tend vers -oo = -oo

De toutes façons ton raisonnement était faux car
si lim de g(x) quand x tend vers -oo = 0
et lim de h(x) quand x tend vers -oo = -oo
alors on ne peut pas conclure sur la lim du produit gh quand x tend vers -oo

Par exemple :
lim de x quand x tend vers -oo = -oo
lim de 1/x quand x tend vers -oo = 0
le produit vaut 1 donc sa limite est 1 en -oo

bon jpense avoir compris merci bcp

pour la dernière du QCM j'ai dejà dérivé mais le prob c'est que j'obtiens
g'(x) = x(e^x + 2 )
Après comme racine on trouve x=0 mais e^x+2=0
sa devient e^x=-2 et ca c'est impossible alors comment je fais mon tableau de signe moi??????

et pour la question a je ne trouve pas comment t'as fais pour trouver
-x² j'ai bien transformé les e^-x en 1/e^x mais rien ni fait je ne trouve pas de -x²
pourrez tu me guider un peu merci;)

f(x) = xe^-x = x/e^x
f(-x) = -xe^x
donc f(x) f(-x) = (-xe^x) (x/e^x)
= -x² car e^x/e^x=1

e) f'(x)=(1-x)e^-x
donc f' est différent de -f

g(x) = e^x (x-1) + x²
g'(x) = x(e^x + 2)
Pour tout x, e^x + 2 > 0 donc g'(x) = 0 <=> x = 0
et g'(x) et du signe de x
donc g est décroissante sur ]-oo,0] et croissante sur [0,+oo[

g(0) = -1 donc a) est faux
g(1) = 1 donc b) est faux
c) et d) sont vrais
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