Slt !!  Voici un probleme de suite
( Un ) défini par : pour tout n E N*, Un = 15,15151515....15
ou la partie decimale de Un est formée des chiffres 1 et 5 dans cet ordre que l'on repete n fois.
 
1. Ecrire sous forme décimale U1, U3, U3
2. Vérifier U1 = 15+15*10^-2
3.Demonter par récurence sur que  
pour tout n de N*, Un= 15+15*10^-2+...........15*10^(-2n)
4.Simplifier Un pour tout n de N*.
 
Je n'arrive pas aux deux dernière question !!
Aidez moi pleaze    Merci

up !

1)  u1 = 15,15
     u2 = 15,1515
     u3 = 15,151515
 
2) u1 = 15 + 15*10^-2  
        = 15 + 0,15
        = 15,15
 
3)  

• On pose p(n) : "Un= 15+15*10^-2+...........15*10^(-2n)" pour tout n supérieur ou égal à 1

• Initialisation : p(0) vrai pour n = 1 ?  

Membre de gauche : 15,15
Membre de droite : 15+15*10^-2
     Donc p(0) vrai
 

• Hérédité :

HdR -> On suppose p(k) vrai pour un certain k supérieur ou égal à 1 :
Uk= 15+15*10^-2+...........15*10^(-2k)
 
CdR -> On démontre p(k+1) vrai :
U(k+1)= 15+15*10^-2+...........15*10^[-2(k+1)]
 

• Uk < Uk + U1

15+15*10^-2+....15*10^(-2k) < 15+15*10^-2+...........15*10^(-2k) + 15*10^-2
...
 
 
EDIT : Je bloque moi aussi    
 
 

aie !! lol

Le but de cet exo est d'écrire 15,1515151515...sous forme de fraction rationnelle : Je te propose une méthode,
si x=15,1515151515... alors 100x=1515,151515...=1500+x
donc 99*x=1500 donc  
x=1500/99 = 500/33
et voilà !!! pas besoin des suites (en fait si, si on veut être rigoureux)

oué mais la moi je suis obligé d'utiliser les suites !

3) Suffit de voir que Un+1=Un+15*10^(-2*(n+1))...Apres c'est trivial
4)du coup, pour k dans IN on a :
 
U2-U1 = 15*10^(-4)
U3-U2 = 15*10^(-6)
Uk - Uk-1 = 15*10^(-2*k)
Uk+1 - Uk = 15*10^(-2*(k+1))
Uk+2 - Uk+1 = 15*10^(-2*(k+2))
.....(etc)
Un-Un-1 = 15*10^(-2*n)
 
Ca serait bien de sommer toutes les égalités de ce système car tous les termes s'annulent (genre le Uk du haut va tuer le -Uk du bas etc...
En sommant on arrive à un truc du style :  
 
(U2-U1)+(U3-U2)+(U4-U3)+...+(Un-Un-1) = (la somme des 15*10^(..))
 
Ne reste que Un-U1 = somme des 15*10^(...)   qui n'est autre que la somme des termes d'une suite géométrique...Je te laisse continuer...

j'essai merci