HELP : problème pour exo maths Terminale S

Bonjour à tous !
Je suis en Terminale S et je n'arrive pas à faire une question dans un exo de maths :
Soit f(x) = (Racine de (Xcarré +1)) - x
On a montré que, pour tout x supérieur ou égal à 0, f(x) sup à 0.
On a montré que, pour tout x sup ou égal à 0, f(x) = 1/((Racine de (Xcarré +1)) + x)

Question : En déduire que, pour tout x sup ou égal à 0, on a :
0 plus petit que f(x) plus petit que 1/2x

Merci d'avance pour votre aide ! (désolé, je ne sais pas comment écrire les carrés ni les racines)

J'ai réussi avec une autre méthode running-gag. Toutefois, la question qui suit est ... comment dire ... MORTELLE :
Soit e un nombre réel fixé strictement positif.
Justifier qu'il existe un réel A tel que :
si x appartient à [A;+l'infini[, alors 0 plus petit que f(x) plus petit que e.
Qu'en déduit-on ?
(Ca c'est pas de la gnognotte )

Merci d'avance !

Tout d'abord, merci de m'aider avec autant de détermination !
Mais il y a une chose que je ne comprends pas dans ton raisonnement : si x sup à 1/(2e) comment on sait que 1(2x) inf ou égal a e ???

Merci beaucoup !!!!

Bonjour, je propose une méthode hyper-tordue pr ton problème mais ca me plait !!! (il faut connaitre qques rudiments sur les intégrales)

f(racine(x)) = racine(x+1) - racine(x) (ben oui x=racine(x²) pr x positif)

On reconnait un g(x+1) - g(x) ou g(x)=racine(x)
or on sait que g(x+1)-g(x) = int(x,x+1, de g'(t)) (intégrale de g' entre x et x+1)

Or g'(t) = 1/(2*rac(t)) qui est clairement décroissante sur IR+* donc on a :
g'(t)<= g(x) sur [x,x+1]car g est décroissante
donc :
int(x,x+1, de g'(t))<=int(x,x+1, de g'(x)) qui vaut g'(x)

Donc on a montré que :

g(x+1)-g(x) <= g'(x) = 1/(2*rac(x)) donc
f(racine(x))<= 1/(2*rac(x)) et par conséquent :

f(x)<=1/(2x)

CQFD

Ben quoi c'est beau les maths !!!
Non ???